17．(2017·江苏无锡崇安区·一模)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC. 在
不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ▲ ．
D C
A
B （第15题图）
答案: ∠A＝90o
18．（2017·无锡市天一实验学校·一模）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形的面积为____▲____ cm2 ． 答案：96
三.解答题
1. （2017·湖南永州·三模）（8分）已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF． （1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．
答案：（1）证明：（4分）∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO（1分），∠EDB=∠FBO， 在△EOD和△FOB中：?DO?BO??EDO?OBF???EOD??FOB?（2分），∴△DOE≌△BOF（ASA）（1分）；
（2）（4分）解：当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形（1分），理由：∵△DOE≌△BOF，
∴BF=DE（1分），又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形（1分），∵BO=DO，∠EOD=90°，∴EB=DE，∴四边形BFED为菱形（1分）．
2. （2017·湖南永州·三模） （10分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
答案：
3 （10分）解：（1）（1分）如图1，①（2分）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，
∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC（1分）．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA（1分）． ②（2分）∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴OCPD?OPPA?CPDA?14=1．∴PD=2OC，PA=2OP，2DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8（1分）．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x． 在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10（1分）．∴边AB的长为10．
（2）（2分）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=1DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=1AP．22
∵∠D=90°，∴sin∠DAP=DP=1（1分）．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，AP2源:@中%#&教网^]来∠DAP=30°，∴∠OAB=30°，∴∠OAB的度数为30°（1分）．
（3）（4分）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，∴∠APB=∠MQP，∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=12PQ（1分）．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，???QMF??BNF，∴△MFQ≌△NFB（1分），∴QF=BF，∴QF=
??QFM??BFN?QM?BN?12QB，
∴EF=EQ+QF=1PQ+1QB=1PB（1分）．由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，222∴PB=82?42=45，∴EF=1PB=25（1分）． 2∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为
25．
4 （2017·江苏常州·一模）（本题满分6分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，
CD边上，连接CE、AF，∠DCE＝∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明.
DFCAEB
答案：
答案：．四边形AECF是平行四边形. ---------------------------------------------------------------- 1′
证明：∵ 矩形ABCD中，AB∥DC ∴ ∠DCE＝∠CEB ------------------------------- 2′
∵ ∠DCE＝∠BAF ∴ ∠CEB＝∠BAF ∴ FA∥CE --------------------- 4′ 又矩形ABCD中，FC∥AE ∴ 四边形AECF是平行四边形. -------------- 6′
5 （2017·江苏高邮·一模）（本题满分10分）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．
命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是菱形． 已知：如图， ▲ ． 求证： ▲ ．
A
C
D
B
证明：
．解：已知： ………………………2分
求证： ………………………2分 证明： ………………………6分
6．（2017·江苏江阴青阳片·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：
①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是 形；
答案：（1）∵AF∥BC
来源^%&:@中教网中国教&^~育出#*版网② 当△ABC满足条件 时，四边形AFBD是正方形．
∴∠AFE=∠ECD，∠FAE=∠CDE…………1分 又∵E是AD的中点 ∴AE=DE…………2分 ∴⊿AEF≌⊿DEC ∴AF=DC…………3分 又∵D是BC的中点 ∴DB=DC…………4分
∴AF=DB…………5分 又∵AF∥BC
∴四边形AFBD是平行四边形…………6分
①?? 矩 ； ② ⊿ABC是等腰直角三角形 ．
7．（2017·江苏江阴夏港中学·期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
答案：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD
又∵BE=AB，∴BE=CD，………………………2分
∵BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。………………………3分 ∴BD=EC。………………………4分
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。 ……………6分
又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD。∴∠BAO=90°∴∠ABO=40°。 …………8分
8．（2017·江苏江阴要塞片·一模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，
来源:%#中&^教网DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．
ADBFEC（第8题）
答案：证明：∵DF⊥AE于F， ∴∠DFE＝90° 在矩形ABCD中，∠C＝90° ∴∠DFE＝∠C ……..2分 在矩形ABCD中，AD∥BC ∴∠ADE＝∠DEC
∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED
∴∠AED＝∠DEC ……..4′
又∵DE=DE，∴△DFE C≌△DCE ··········6分
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