证明：在正方形ABCD中，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，……2’ 在△BCE和△CDF中，∴CE=DF．……6’
……4’，∴△BCE≌△CDF（SAS），……5’
14．（2017?山东滕州东沙河中学?二模） 如图3，四边形ABCD为矩形，点E在边BC上，
四边形AEDF为菱形．
（1）求证：ΔABE≌ΔDCE；
（2）试探究：当矩形ABCD长宽满足什么关系时， 菱形AEDF为正方形?请说明理由．答案：解：（1）略．（2）AD=2AB．
图3
15．（2017?山东滕州羊庄中学?4月模拟）已知：如图4，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC． （1）求证：CD=AN；
（2）若∠AMD=2∠MCD，
试判断四边形ADCN的形状，并说明理由． 答案：（本题满分10分）
证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，
图4
??DAC??NCA?∵在△AMD和△CMN中，?MA?MC，∴△AMD≌△CMN（ASA），…（2分）
??AMD??CMN?∴AD=CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形，………（4分） ∴CD=AN ………（5分）
② 四边形ADCN是矩形．………（1分）
理由如下 ∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC， ∴∠MCD=∠MDC ∴MD=MC， ………（2分）
由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD=MN=MA=MC， ∴AC=DN，………（4分） ∴四边形ADCN是矩形．………（5分）
16．（2017?山东滕州羊庄中学?4月模拟）如图5-1，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，将正方形MNPQ绕点M顺时针旋转，在旋转过程中，射线MN与射线MQ分别交正方形ABCD的边于E、F两点。 （1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．
（2）若将原题中的两个正方形都改为矩形且BC =6，AB =2，如图5-2，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系．
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图5-1
图5-2
答案：（1）证明：过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H ∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH． 又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2． 在△MGE和△MHF中
∠1=∠2，MG=MH，∠MGE=∠MHF． ∴△MGE≌△MHF． ∴ME=MF．－－（5分）
图6-1
图6-2
（2）解：①当射线MN交BC于点E，射线MQ交CD于点F时．
过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°． ∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
来~#源:%中国图6-3
∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2，∠MGE=∠MHF ， ∴△MGE∽△MHF． ∴
MEMG?，∵M为矩形对角线AB、AC的交点，∴MB=MD=MC MFMH又∵MG⊥BC，MH⊥CD，
∴点G、H分别是BC、DC的中点． ∵BC=6，AB=2， ∴MG＝1，MH＝3．
?MEMG1??,?MF?3ME （2分） MFMH3图6-4
②当射线MN交AB于点E，射线MQ交BC于点F时．
过点M作MG⊥AB于点G，MH⊥BC于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°． ∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°． ∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2， ∠MGE=∠MHF． ∴△MGE∽△MHF．∴
MEMG,∵M为矩形对角线AC、BD的交?MFMH点， ∴MB=MA=MC．又∵MG⊥AB，MH⊥BC，∴点G、H分别是AB、BC的中点．∵BC=6，AB=2?MEMG3??,?ME?3MF，（4分） MFMH1③当射线MN交BC于点E，射线MQ交BC于点F时．由△MEH∽△FMH， 得
EH?FH?MH2?1，由△MEH∽△FEM，得ME2?EH?FE
2△FMH∽△FEM．MF?FH?FE
?1111FH?EHEF1???????122EH?EFFH?EFEH?FH?EFEH?FH?EFEH?FHMEMF （6分）
④当射线MN交BC边于E点，射线MQ交AD于点F时． 延长FM交BC于点G．
易证△MFD≌△MGB．∴MF=MG．
1111???1????1 （7分） MG2ME2MF2ME211???1 综上所述：ME与MF的数量关系是ME?3MF或MF?3ME或MF2ME2同理由③得?
图6-5
17．（2017?山东滕州张汪中学?质量检测二）如图7，等腰梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，点E、F在BC上，且BE＝CF． （1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝EF，试证明四边形AEFD为矩形．
答案：证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，
图7
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB．…………2分 又∵BE＝CF，∴△ABE≌△DCF．…………4分 ∴AE＝DF…………5分
（2）∵BE＝CF，∴BF＝CE…………6分
又∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，∴△ABF≌△DCE，…………8分 ∴AF＝DE．
又∵AD＝EF，AD∥BC，∴四边形AEFD为平行四边形．…9分 ∴四边形AEFD为矩形．…………10分
18．（2017?山东潍坊?第二学期期中）已知：如图8，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、
O B
E
图8
A D F C M
FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
答案：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．∵AE = AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF．∴BE＝DF．（4分） （2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC∵BE＝DF，∴BC－BE = DC－DF. 即CE?CF． ∴OE?OF．∵OM = OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE = AF，∴平行四边形AEMF是菱形．（8分）
19.（2017?山东潍坊广文中学、文华国际学校?一模）如图9，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）求证：AP+HC=PH； （3）当AP=1时，求PH的长．
答案：（1）证明：∵ PE=BE，∴∠EPB=∠EBP， 又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形 ∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH． ----------------------4分 （2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q， 由（1）知，∠APB=∠BPH，
图9
??A??BQP?90??在△ABP与△QBP中，??APB??BPH，
?BP?BP?图10
∴△ABP≌△QBP（AAS）， ∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH与Rt△BQH中，
??BC?BQ，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，?BH?BH?∴AP+HC=PH． ---------------------------8分
（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．设QH=HC=x，则DH=4-x． 在Rt△PDH中，PD2+DH2=PH2，
即32+（4-x）2=（x+1）2，解得x=2.4，∴PH=3.4． ---------------------------12分
20.（2017·邗江区·初三适应性训练）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC