∴DF＝DC ··········7分（其它方法酌情给分）
9. (2017·北京市朝阳区·一模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D
作DE∥AC且DE=于点F．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长． 答案：（1）证明：在菱形ABCD中，OC=
∴DE=OC． ∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形． …………………………………………2分 ∴OE=CD．…………………………………………………………………3分
（2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED中，
CE= OD=AD2?AO2?3．………………4分 在Rt△ACE中，
AE=AC2?CE2?7．………………………………………………………5分
10. (2017·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，?A??C，?A＝70，?B＝75，则?C＝ ，?D＝ .
1AC，连接 CE、OE，连接AE交OD 2
1AC. 200（2）在探究等对角四边形性质时：
①小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中?ABC＝?ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；
②由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等” .你认为她的猜想正确吗？若正确，请给与证明；若不正确，请举出反例. （3）已知：在等对角四边形ABCD中，?DAB＝60，
0图1
?ABC＝900，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长.
图2
1400 ?D＝750 ………………………………… 2分 答案：（1）?C＝（2）①证明：连接BD， ∵AB＝AD，∴?ABD＝?ADB.
∵四边形ABCD为等对角四边形，∴?ABC＝?ADC.
∴?CBD＝?CDB，即CB＝CD. ………………………………… 5分 ②不正确 ………………………………… 6分 如图，在等对角四边形ABCD中，?A＝?C，?B??D，AB＝BC，但显然AD?DC
………………………………… 8分
（3）当?ABC＝?ADC＝90时，如图 延长BC、AD相交于点E ∵?DAB＝60，∴?E＝30. ∵AB＝5，∴AE＝10，BE＝53. 又∵AD＝4， ∴DE＝6. 在Rt?DCE中，CE?000DE?43 0cos30
∴BC＝BE－CE＝53?43?3 在Rt?ABC中，AC?AB2?BC2?27 ……………………………… 11分
当?DAB??DCB?600时，如图
过D点作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，则四边形BEDF为矩形
cos600?4?在Rt?ADE中，AE?AD?∴DF＝BE＝AB－AE＝5－2＝3 在Rt?CDF，CF?13?2，DE＝AD?sin600?4??23 22DF3??3 0tan603∵BF＝DE＝23， ∴BC＝BF+CF＝33 在Rt?ABC中，AC?AB2?BC2?213 ……………………………… 14分
中国^*教育#~&出版网11. (2017·合肥市蜀山区调研试卷)四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点. （1）如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接 PC，求证: ∠AEB=∠PCD.
[w^ww&.#*zzstep.com%]（2）如图1，当PA=PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数.
（3）连接AP并延长交射线且ΔPCE是等腰三角形，求．．BC于点E，连接 PC，若∠ABC=90°∠PEC的度数.
来源:#中国&教育出版网A
DP A DADB 答案：.
C图1
EB
CBC 备用图
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴∠PDA=∠PDC， AD=CD AD∥BC
来又∵PD=PD,
中
∴ΔPAD≌ΔPCD (SAS)， ∴∠PAD=∠PCD， 又∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠PAD=∠PCD……………………4分 （2）∵PA=PD ∴∠PAD=∠PDA 设∠PAD=∠PDA =x，则∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD =2x ∵PC⊥BE∴2x+x=90° ∴ x=30°∴∠ABC=2x=60°……………………8分 或延长CP交AD于M，∵AD∥BC，PC⊥BC，∴CM⊥AD， ∵PA=PD∴ΔPAM≌ΔPDM (HL)， ∴AM=DM,∴CM垂直平分AD，连接AC,则AC=CD =BC=AB ∴ΔABC是等边三角形 中AMPDBCE∴∠ABC=60°……………………8分 （3）①当点E在BC的延长线上时，如图，ΔPCE是等腰三角形，则CP =CE， 来源:%zzste^p.co~m*#]∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90° , ∴菱形ABCD是正方形，∴∠PBA=∠PBC=45°， 又AB=BC，BP =BP， ∴ΔABP≌ΔCBP，∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP， ∵∠BAP+∠PEC =90°，2∠PEC+∠PEC =90° ∴∠PEC=30°.……………………11分 ②当点E在BC上时，如图，ΔPCE是等腰三角形，则PE =CE， ∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP 来APDBCEADP∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形， ∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP =BP， ∴ΔABP≌ΔCBP，∴∠BAP=∠BCP ∵∠BAP+∠AEB =90°，2∠BCP+∠BCP =90° ∴∠BCP=30°.∴∠AEB=60°. ∴∠PEC=180°－∠AEB=120°……………………14
BEC12.（2017·广东广州·二模）如图10，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G． （1）求证：BC=BF；
（2）若AB=4，AD=3，求CF．
（图10）
（3）求证：GB?DC=DE?BC
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠CDB+∠DBC=90°． ∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°．
∴∠ECB=∠CDB．-----------------------------------1分 又∵∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．-------------------------2分 ∴BF=BC ---------------------------------------------3分 （2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
BD＝AB2?AD2?32?42?5 又∵BD?CE=BC?DC， BC?DC3?412??-----------------------------------------4分 BD55922∴BE?BC?CE? 596∴EF=BF-BE=3-?---------------------------------------------------5分 55∴CE?∴CF?CE2?EF2?65 ------------------------------------------------6分 5（3）∵四边形ABCD为矩形．FG∥DA与AB交于点G，CE⊥BD于E． ∴∠DBA=∠CDB，∠CED=∠BGF=90°．--------------------------------7分 ∴△DEC∽△BGF．----------------------------------------------------------8分 ∴GB：DE=BF：CD．
∴GB?CD=DE?BF．------------------------------------------------------------9分
13. （2017·广东高要市·一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．