13.(12新课标)（11）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上，?ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC?2；则此棱锥的体积为（ ）
2322
(A)6 (B) 6 (C) 3 (D)2
14（07）18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥S?ABC中，侧面SAB与侧面SAC 均为等边三角形，?BAC?90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO?平面ABC； （Ⅱ）求二面角A?SC?B的余弦值． 15. (08)18．（本小题满分12分）
如图，已知点P在正方体ABCD?A?B?C?D?的对角线BD?上，?PDA?60?． B （Ⅰ）求DP与CC?所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面AA?D?D所成角的大小．
16（09）（19）（本小题满分12分）
C
S
O A
D?
A? C?
P
B?
D C
A B 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
wwwk5uomwwwk5uom
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；
若不存在，试说明理由。
17.（10新课标）(18)（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB?CD,AC?BD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点
（1） 证明：PE?BC
（2） 若?APB=?ADB=60°，求直线PA与平面PEH
所成角的正弦值
21
18.（11新课标）(18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 19. (12新课标)（19）（本小题满分12分）
ABC?A1B1C1AC?BC?12AA1如图，直三棱柱中，，
D是棱AA1的中点，DC1?BD
（1）证明：
DC1?BC
的大小。
（2）求二面角
A1?BD?C1答案：1B2B3.解：令球的半径为R，六棱柱的底面边长为
a，高为h，显然有
h22a?()?R2，且
1??329a?44a?h??V?6??3?R?1?V??R?? 2???4833?6a?3?h?3??4.解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图
设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得 m?n?k1?k2222?7，m?k222?26?n?1
22?a，1?m?b，所以(a?1)?(b?1)?6
2kn，
?a?b?8∴(a?b)?a?2ab?b?8?2ab?8?a?b?16
?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号。
22222m5A6D
7. 解析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，则其外接球的半径为 R?()?()??22sin60a2a2712a，球的表面积为R?4??227a212?73?a，应选B.
2 22
命题意图：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.
8.（三棱锥、三棱柱、圆锥）（其他正确答案同样给分） 9. 解析：由△ADC的面积为3?12323可得 32A
S?ADC?S?ABC??AD?DC?sin60?12?DC?3?3 (3?3)?AB?AC?sin?BAC
3?1,BC?33?3.
B D 解得DC?23?2,则BD?C
222?2AB?AD?BD?2AD?BD?cos120?4?(3?1)?2(3?1)?6,AB?6
AC2?AD?CD?2AD?CD?cos60?4?4(3?1)?4(3?1)?24?123 22?2AC?6(3?1)
则cos?BAC?BA?AC?BC2AB?AC222?6?24?123?9(4?23)26?6(3?1)?63?612(3?1)?12
故?BAC?60?.
命题意图：本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力.
10.解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D 11.解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=OM=224?(23)?2，VO?ABCD?12(23)?6?23,
2213?6?23?2?83. 12【解】选B 13【解】选A 14．证明：
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以
OA?OB?OC?22SA，且AO?BC，又△SBC为等
S
腰三角形，故SO?BC，且SO?22SA，从而
M
23
O B A
C
222OA?SO?SA．
所以△SOA为直角三角形，SO?AO． 又AO?BO?O．
所以SO?平面ABC． （Ⅱ）解法一：
取SC中点M，连结AM，由（Ⅰ）知SO?，OM OM?S，CA?M．S∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．
由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC． 所以AO?OM，又AM?32SA，
O，C?SA，A得
故sin?AMO?AOAM?23?63．
所以二面角A?SC?B的余弦值为解法二：
33．
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系
O?xyz．
设B(1，0，0)，则C(?1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1)．
??????1?1??????11????1??1SC的中点M??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)． 0，?，MO??，222222???????????????????????∴MO·SC?0，MA·SC?0．
z S 故MO?SC，MA?SC， A?SC????????????????????????MO·cos?MO，MA???????MO·B的平面角． ????MA3， ?????3MAM O C A 所以二面角A?SC?B的余弦值为 33． x B y 24 15.解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D?xyz． ?????????则DA?(1，0，0)，CC??(0，0，1)．连结BD，B?D?． 在平面BB?D?D中，延长DP交B?D?于H． ???????????????设DH?(m，m，DA??60， 1)(m?0)，由已知?DH，???????????????????????????由DA?DH?DADHcos?DA，DH? 22z D? A? H P C? B? D A B C y 可得2m?2m?1．解得m?2， x 2?0?1?22?0?1?12???????2??????????2?所以DH??（Ⅰ）因为cos?DH，，，1?．CC????2?2??222， ????????????所以?DH，CC???45．即DP与CC?所成的角为45． ????（Ⅱ）平面AA?D?D的一个法向量是DC?(0，1，0)． 2?????????因为cos?DH，DC??2?0?1?22?1?1?02?12??????????DC??60． ， 所以?DH，可得DP与平面AA?D?D所成的角为30?． 16.解法一： （Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO?AC。在正方形ABCD中，AC?BD，所以AC?平面SBD,得AC?SD. (Ⅱ)设正方形边长a，则SD?222a。 又OD?a，所以?SOD?60, 0 连OP，由（Ⅰ）知AC?平面SBD,所以AC?OP, wwwk5uom 且AC?OD,所以?POD是二面角P?AC?D的平面角。 0由SD?平面PAC,知SD?OP,所以?POD?30, 0即二面角P?AC?D的大小为30。 （Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC 25