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第四编 三角函数及三角恒等变换
§4.1 角的概念的推广和弧度制及任意角的三角函数
基础自测
1.A={小于（ ）
A.{小于90°的角} C.{第一象限的角} 答案 D
2.将表的分针拨慢( ) A.
?390°的角}，B={第一象限的角}，则
B.{0°～90°的角} D.以上都不对 10
A∩B等于
分钟，则分针转过的角的弧度数是
B.
?6 C.-
?3 D.-
?6
答案 A
3.已知扇形的周长是( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 答案 C 4.已知角?（ ）
A.sin2 B.-sin2 C.cos2 D. -cos2 答案 D
5.?是第二象限角，P（x，（ ）
A.
1046 cm，面积是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是
2
终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?等于
5）为其终边上一点，且cos?=
24x,则sin?的值是
B.
64 C.
24 D.-
104
答案 A
例1 若?是第二象限的角，2?,
?2试分别确定
,
?3的终边所在位置.
解 ∵?是第二象限的角，
∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）， ∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
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（2）∵k2180°+45°＜当k=2n（n∈Z）时， n2360°+45°＜
?2?2 ＜k2180°+90°（k∈Z），
＜n2360°+90°；
当k=2n+1（n∈Z）时， n2360°+225°＜∴
?2?2＜n2360°+270°.
是第一或第三象限的角.
?3（3）∵k2120°+30°＜当k=3n（n∈Z）时， n2360°+30°＜
?3＜k2120°+60°（k∈Z），
＜n2360°+60°；
当k=3n+1（n∈Z）时， n2360°+150°＜
?3＜n2360°+180°；
当k=3n+2（n∈Z）时， n2360°+270°＜∴
?3?3＜n2360°+300°.
是第一或第二或第四象限的角.
例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?,所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?r,
?180?∴?=?-2=(?-2)3??????≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′,
12∴扇形的面积为S=
12r2?=
（?-2）r2.
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10) 扇形的面积S=S=
1212 ①
lr，将①代入，得
(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,
所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时 l=20-235=10,?=
lr=2.
所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.
例3 （12分）已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值.
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解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上， ∴在角?的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),
2分
则x=4t,y=-3t,
r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5t,
4分
当t＞0时，r=5t, sin?=tan?=
yryx??3t5t?3t4t??3534,cos?=;
xr?4t5t?45,
???
8分
yr??3t?5t?35当t＜0时，r=-5t,sin?=cos?=tan?=
xryx4t?5t?3t4t4534,
???,
???.
10分
35综上可知，t＞0时，sin?=?t＜0时，sin?=
35,cos?=
4534,tan?=?.
34;
,cos?=-
45,tan?=?12分
例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: (1)sin?≥
32;(2)cos?≤?3212.
解 （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角?
的终边的范围，故满足条件的角?的集合为
?|2k?+
?3≤?≤2k?+
1223?，k∈Z . （2）作直线x=?交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）
??2343即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为??|2k??
1.已知?是第三象限角，问
?3????2k???,k?Z?.
??是哪个象限的角？
解 ∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z），
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60°+k2120°＜
?3＜90°+k2120°.
①当k=3m(m∈Z)时，可得 60°+m2360°＜
?3?3＜90°+m2360°（m∈Z）.
故的终边在第一象限.
②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得 180°+m2360°＜
?3?3＜210°+m2360°（m∈Z).
故的终边在第三象限.
③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得 300°+m2360°＜
?3?3＜330°+m2360°（m∈Z）.
故的终边在第四象限.
?3综上可知，是第一、第三或第四象限的角.
2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长； （2）求弓形OAB的面积. 解 （1）∵?=120°=
122?3rad，r=6，∴ 的弧长为l=
122?336=4?.
12(2)∵S扇形OAB=
lr=
1234?36=12?，S△ABO=
r2sin
2
2?3=363
2
32=93，
∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.
3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值.
解 ∵角?的终边在y轴上，∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t. ∴r=x2?y2=02?t2=|t|. 当t＞0时，r=t,sin?=
yr=
yryxtt=1,cos?=
t?txr=
0t=0,tan?=
yx不存在；
当t＜0时，r=-t，sin?=
xr0?t==-1,
cos?===0,tan?=不存在.
综上可知,sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：
（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sin2x）.
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解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥
12.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示). ∴x∈?2k?????3,2k?????3?（k∈Z）.
34（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜
,∴-
32＜sinx＜
32.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x?（k?-
一、选择题 1.
已
知
cos
??3,k?+
?3）（k?Z).
2tan
?＜0,那么角
?是
（ ）
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 答案 C 2.
若
0
＜
x
＜
?2，则下列命题中正确的是
（ ）
A.sinx
43?x B. sinx>
3?x C. sinx<
4?22x
?22x
答案 D 3.
与
610
°
角
终
边
相
同
的
角
表
示
（ ）
A. k2360°+230°(k∈Z) B. k2360°+250°(k∈Z) C. k2360°+70°(k∈Z) D. k2360°+270°(k∈Z) 答案 B 4.
已
知
（
12为
）
sin2
?＜1,则?所在象限为
（ ）
A.第一或第二象限 B.第二或第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第三象限 答案 D
5.已知点P（tan?，cos?）在第三象限，则角?的终边在第几象限 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B
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