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例3 (12分)若sinA=
55,sinB=
101055,且A,B均为钝角,求A+B的值.
1010解 ∵A、B均为钝角且sinA=∴cosA=-1?sinA=-2,sinB=，
，
25=-
255cosB=-1?sinB=-23=-
310，
1010 4分
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =??25????3????5102 ?5????310?10?-?5310=2
① 8分 又∵
?2＜A＜?, ?2＜B＜?, 10分
∴?＜A+B＜2?
②
由①②知，A+B=7?4.
12分
例4 化简sin2?2sin2?+cos2?cos2?-
12cos2?2cos2?.
解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin2?2sin2?+cos2?2cos2?-122(2cos2?-1)2(2cos2?-1)
=sin2?2sin2?+cos2?2cos2?-12(4cos2?2cos2?-2cos2?-2cos2?+1)
=sin2?2sin2?-cos2?2cos2?+cos2?+cos2?-12
=sin2?2sin2?+cos2?2sin2?+cos2?-12
=sin2?+cos2
?-
1112=1-
2=
2.
方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin2?2sin2?+(1-sin2?)2cos2?-12cos2?2cos2?
=cos2?-sin2? (cos2?-sin2
?)-
12cos2?2cos2?
=cos2?-sin2
?2cos2?-
12cos2?2cos2?
=cos2
?-cos2?2??sin2??1?2cos2??
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=
1?cos2?21?cos2?2-cos2?2?sin2??(1?2sin2?)?
2??-12?1?=cos2?=
12.
方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=
141?cos2?22
1?cos2?2+
1?cos2?22
141?cos2?2-
12cos2?2cos2?
12=(1+cos2?2cos2?-cos2?-cos2?)+
12(1+cos2?2cos2?+cos2?+cos2?)-2cos2?2co
s2?=.
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin?2sin?-cos?2cos?)2+2sin?2sin?2cos?2cos?-=cos2(?+?)+=cos2(?+?)-121212cos2?2cos2?
sin2?2sin2?-2cos(2?+2?)
1212cos2?2cos2?
=cos2(?+?)-
2［2cos2(?+?)-1］=
12.
1.不查表求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值. 解 sin220°+cos280°+3sin20°cos80° =
12(1-cos40°)+
12121212(1+cos160°)+ 3sin20°cos80°
=1-=1-
cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)
12cos40°+(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°-sin60°
sin20°) =1-=1-1234cos40°-cos40°-
1434cos40°-
34sin40°+
1434sin40°-
32sin220°
(1-cos40°）=
??.
2.求值：（1）已知cos?????4???????5?,且＜?＜?,0＜?＜,求cos的值； ? =-,sin????=
2?2521322??1114（2）已知tan?=43,cos(?+?)=-, ?、?均为锐角，求cos?的值.
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解 （1）????????????2?+????2? =
, ???2∵
??2＜?＜?,0＜?＜2.
∴?????,???,???∈??4?2???2∈?,???24? ?∴sin???????2?=1?cos2(?3???2)=5, cos??????2?12?2?=1?sin(??, ?2)?13∴cos
????2=cos?(???(????2)?2)??
?=cos???2?cos??????????????????2?-sin????2?sin?????2?
??=(?4)12553
13-
133
35=-
6365.
(2)∵tan?=43,且?为锐角， ∴
sin?43cos??,即sin?=43cos?,
又∵sin2?+cos2?=1, ∴sin?=
4317,cos?=
7.
∵0＜?,?＜?2,∴0＜?+?＜?,
∴sin(?+?)=1?cos2(???)=5314.
而?=(?+?)-?,
∴cos?=cos［（?+?）-?］
=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin? =???11??53431?143
1?7+
143
7=
2.
3.在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2
A?C2-cos2B=
72,求角B的度数.
解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2
A?C2-cos2B=
72,
得42
1?cos(A?C)2B+1=
72-2cos2,
所以4cos2
B-4cosB+1=0. 于是cosB=
12,B=60°.
4.化简：（1）2sin????x??+6cos?4?????x??;
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(2）
2cos2??1?2???????4????2tan????sin?4?.
解 （1）原式=22?sin?2???13??????x???cos??x??
2?4??4?????=22?sin???????????sin??x??coscos??x??66?4??4???
=22cos?（2）原式=
???6???x?=24?2cos(x-
?12).
cos2?cos2?1?sin2?(1?sin2?)cos2?1?tan?????1?cos??2?1?tan???2??????==1.
一、选择题 1.已知tan(?+?)=
A.C.
32225,tan????????4?=
14,那么tan ????????4?等于
（ ）
1318 B.
161322
D.
答案 C
2.sin163°2sin223°+sin253°2sin313°等于
A.?C. ?32
（ ）
12 B.
3212
D.
答案 B 3.(2008
2
长
沙
模
拟
)
已
知
x?(??2,0),cxo?45s,则tan2x等于
（ ）
A.?C.
724247 B. ?247724
D.
答案 A 4.已
知
cos2
?=
12（其中?∈
???,0????4?），则sin?的值为
（ ）
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A.C.
3212 B.-3212
D.-
答案 B 5.
（ ）
A.-3(cos?12?sin?12)(cos?12?sin?12)等于
B.-1
2
C.12 D.
32
答案 D
2sin2xf(x)=2tanx-2?16.若，则f????的值为 sinxcosx?12??22 （ ） A.-433 C.43 D.-43 答案 B 二、填空题
7.（20082上海理，6）函数f(x)=3sinx+sin????x??的最大值是 .
?2?答案 2 8.求值：cos4?4
3?5?8+cos8+cos4
8+cos4
7?8= .
答案
32
三、解答题 9.已知tan?=
17,tan?=
13,并且?,?均为锐角，求?+2?的值.
解 ∵tan?=17＜1,tan?=13＜1,
且?、?均为锐角， ∴0＜?＜
??4,0＜?＜
4.
∴0＜?+2?＜3?4. 又tan2?=
2tan?=
31?tan2,
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B.8 http://www.52ekt.com