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D. (答案 C
3?2,2?)?
5.（20082全国Ⅱ理，8）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A.1 ? ?D.2? 答案 B
例1 求下列函数的定义域：
（1）y=lgsin(cosx);（2）=sinx?cosx. 解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.
方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-?2 B.2 ?C.3
+2k?＜x＜
?2+2k?,k∈Z}.
方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为?x|????2?2k??x????2k?,k?Z?. 2?（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.
方法一 利用图像.在同一坐标系中画出［0,2?］上y=sinx和y=cosx的图像，如图所示.
在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为所以定义域为?x|???4，
5?4，再结合正弦、余弦函数的周期是2?,
?4?2k??x?5???2k?,k?Z?. 4?方法二 利用三角函数线，
如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM， 则
?4≤x≤
5?4（在［0，2?］内）.
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∴定义域为
??x|?5??4?2k??x?4?2k?,k?Z??. ?方法三 sinx-cosx=2sin(x??)4≥0，
将x-?4视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图像和性质
可知2k?≤x-?4≤?+2k?,
解得2k?+
?≤x≤
5?44+2k?,k∈Z.
所以定义域为??x|2kx???x?5??44?2k?,k?Ζ??. ?例2 求下列函数的值域： （1）y=
sin2xsinx1?cosx;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx; (3)y=2cos(?3?x)+2cosx.
）y=
2sinxcosxsinx=
2cosx(1?cos2解 （1x)1?cosx1?cosx
=2cos2x+2cosx=2(cosx?12-12)2.
于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1, ∴y＜4，且y1min=-2,当且仅当cosx=-12时取得.
故函数值域为?1??2,4??.
??（2）令t=sinx+cosx,则有t2
=1+2sinxcosx, 即sinxcosx=
t2?12.
t2有y=f(t)=t+
?11(t?1)2?12=2. 又t=sinx+cosx=2sin(x??)4，
∴-2≤t≤2. 故y=f(t)=
1(t?1)22?1(-2≤t≤2),
从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+12.
即函数的值域为?1???1,2??2?.
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（3）y=2cos(=2cos
?3?3?x)+2cosx
?3cosx-2sinsinx+2cosx
=3cosx-3sinx
?3?1=23?cosx?sinx?
?2?2??=23cos(x?∵cos(x??6?6).
)≤1
∴该函数值域为［-23，23］. 例3（12分）求函数y=2sin(解 方法一 y=2sin(
1分
?4?4?x)的单调区间.
?4?x)化成y=-2sin(x?).
∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为
????2k??,2k????（k∈Z), 22???3????2k??,2k??? (k∈Z), 22??
3分
?4)∴函数y=-2sin(x?2k?+
?2的递增、递减区间分别由下面的不等式确定
3?27?4≤x-3?4?4≤2k?+（k∈Z), （k∈Z),
即2k?+
?2≤x≤2k?+
?42k?-≤x-?4≤2k?+
?2（k∈Z), （k∈Z).
即2k?-11分
≤x≤2k?+
3?4∴函数y=2sin(?4?x)的单调递减区间、单调递增区间分别为?2k?????4,2k??3???4?（k∈Z),
3?7???,2k???2k???44??（k∈Z).
12分
方法二 y=2sin(?4?x)可看作是由y=2sinu与u=
?4
?x复合而成的.
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又∵u=
1分
?4?x
为减函数，
?2∴由2k?--2k?-???2≤u≤2k?+
3?4（k∈Z),
?4≤x≤-2k?+
?4,?2k?? (k∈Z). （k∈Z）为y=2sin(?4?x)即??2k??由2k?+即2k?+得-2k?-??3???4?的递减区间.
?2≤u≤2k?+≤
?43?2 (k∈Z),
3?2?2-x≤2k?+
?4 (k∈Z)
5?4≤x≤-2k?-,?2k?? (k∈Z),
?4?x)即??2k??
5?4???4?（k∈Z)为y=2sin(的递增区间.
11分
?4?x)综上可知：y=2sin(的递增区间为
5????,?2k?????2k??44??（k∈Z）；
3???4?递减区间为??2k?????4,?2k??（k∈Z）.
12分
1.求f(x)=1?2cos(?2?x)的定义域和值域. ????x?≥0,得?2?22解 由函数1-2cos?域是
sinx≤,利用单位圆或三角函数的图像，易得所求函数的定义
5?????x?2k??,k?Z ?x|2k???. 44??当sinx=cos?当sinx=cos???2??x?=
2?2?????x?=-1?2?时，ymin=0;
时，ymax=1?2.
所以函数的值域为［0，1?2］. 2.已知函数f(x)=
2cos4x?3coscos2x2x?1,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.
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解 由题意知cos2x≠0，得2x≠k?+解得x≠
k?2?2，
??4（k∈Z）.
??k?22所以f(x）的定义域为?xx?R,且x?又f（x)=
2cos4???,k?Z?. 4?2x?3coscos2x2x?1=
(2cosx?1)(coscos2xx?1)
=cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数. 显然-sin2x∈［-1，0］，但∵x≠∴-sin2x≠-12k?2??4,k∈Z.
.所以原函数的值域为
11???y|?1?y??或??y?0?.
22??3.（1）求函数y=sin?（2）求y=3tan????6????2x??3??x??4?的单调递减区间；
的周期及单调区间.
?3解 （1）方法一 令u=
?2?2x,y=sinu利用复合函数单调性.
由2k?-2k?--k?-5?6≤-2x+
?3≤2k?+
?6?2(k∈Z),得
≤-2x≤2k?+≤x≤-k?+
5?125?（k∈Z),
?12 (k∈Z),
即k?-
?12≤x≤k?+
12（k∈Z).
??∴原函数的单调递减区间为?k?????12,k??5???12? (k∈Z).
??方法二 由已知函数y=-sin?2x?间. 由2k?-?2???3?,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin?2x????3?的单调递增区
≤2x-??3≤2k?+
5?12?2（k∈Z),
解得k?-
12≤x≤k?+（k∈Z).
??∴原函数的单调递减区间为?k??（2）y=3tan?∴T=
?????6?x??4??12?,k??5???12?（k∈Z）.
=-3tan????6?x?4???6?,
=4?,∴y=3tan??x??4?的周期为4?.
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