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5.已知函数f(x)=2sin?x(?＞0)在区间???????3,?4?上的最小值是-2，则?的最小值等于 .
答案
32
例1 已知函数y=2sin(2x??3),
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明y=2sin(2x??3)的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换而得到. 的振幅A=2,周期T=
?3解 （1）y=2sin(2x?（2）令X=2x+
?3?3)2?2=?，初相?=
?3.
,则y=2sin(2x?)=2sinX.
列表，并描点画出图像：
x X y=sinX y=2sin(2x+
（3）方法一 把y=sinx的图像上所有的点向左平移y=sin(x??3)-?6 ?12 ?3 7?123?2 5?6 0 0 ) 0 ?2 ? 2? 0 0 1 2 0 0 -1 -2 ?3?3个单位，得到y=sin(x??3)的图像，再把
?3的图像上的点的横坐标缩短到原来的
?3)12倍（纵坐标不变），得到y=sin(2x?)的图像，最
?3)后把y=sin(2x?上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin(2x?的图
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像.
方法二 将y=sinx的图像上每一点的横坐标x缩短为原来的再将y=sin2x的图像向左平移
?312倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图像；
?6个单位；
?3得到y=sin2(x?)=sin(2x??3)的图像；再将y=sin(2x??3)的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐
标伸长为原来的2倍，得到y=2sin(2x?)的图像.
例2 如图为y=Asin(?x+?)的图像的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点， 则A=-3，T=2(5?6??3)=?，
∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）. ∵点N(??6,0)，∴-
?632+?=0，∴?=
?3?3，
所求解析式为y=-3sin(2x?方法二 由图像知A=3， 以M(
?3
). ①
,0)
为第一个零点，P(5?6,0)为第二个零点.
???·???0??3列方程组???·5??????6????2? 解之得?2?.
????3?2?3∴所求解析式为y=3sin(2x?A2).
?2 ②
例3（12分）已知函数f(x)=其图像相邻
-
A2cos(2?x+2?) (A＞0, ?＞0,0＜?＜),且y=f(x)的最大值为2，
两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求?;
(2)计算f(1)+f(2)+?+f(2 008). 解 （1）∵y=∴
A2A2-
A2cos(2?x+2?),且y=f(x)的最大值为2，A＞0,
+
A2=2,A=2.
又∵其图像相邻两对称轴间的距离为2,?＞0, ∴
12(2?2?)=2, ?=
?4.
2分
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∴f(x)=
22-
22cos(?2x?2?)=1-cos(?2?2x?2?).
∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos(
?2?2?)=-1.
?2? 4分
=2k?+?,k∈Z.∴?=k?+
?2?4,k∈Z.
又∵0＜?＜
，∴?=
?4.
6分
?4(2)∵?=,∴f(x)=1-cos(?2x??2)=1+sin
?2x.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.
9分
又∵y=f(x)的周期为4，2 008=43502,
∴f（1）+f（2）+?+f（2 008）=43502=2 008.
12分
1.已知函数y=3sin(x?21?4)
（1）用五点法作出函数的图像；
（2）说明此图像是由y=sinx的图像经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图像的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：
x
12?2
32?
52?
7232?
92?
x?1?4
?40 0
?2
?
? 2?
3sin(x?2) 3 0 -3 0
描点、连线,如图所示：
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（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图像上所有点向右平移
?4个单位，得到y=sin(x??4)的图像；再把y=sin(x??4)的图像
上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 y=sin(x?21?4)的图像，最后将
1y=sin(x?21?4)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不
变），就得到y=3sin(x?2?4)的图像.
方法二 “先伸缩，后平移”
先把y=sinx的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=siny=sin
1212x的图像；再把
x图像上所有的点向右平移
12?2个单位，
x2得到y=sin(x-
?2)=sin(x2??4)的图像，最后将y=sin(1??4)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的
3倍（横坐标不变），就得到y=3sin(x?22??4)的图像.
（3）周期T=
?=
2?12=4?，振幅A=3，初相是-
?4.
(4)令
12x??4=
?2+k?(k∈Z),
得x=2k?+令
1232?(k∈Z),此为对称轴方程.
x-
?4=k?(k∈Z)得x=
?2?2+2k?(k∈Z).
对称中心为(2k??,0) (k∈Z).
?22.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜
( )
?8x?,x∈R)的部分图像如图所示，则函数表达式为
A. y=-4sin(C. y=4sin(答案 B
?4) B. y=-4sin( D. y=4sin(?8x??8x??4)
?8x??4)?4)
3.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x(其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当x=
13时,f(x)取得最大值2.
（1）函数f(x)的表达式； （2）在闭区间??2123?,?上是否存在f(x)的对称轴? 如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由. 44??22解 （1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A?Bsin(?x??)
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由T=
2??=2知?=?，
又因为f(x)最大值为2，所以f（x）=2sin(?x+?). 由x=
13?6时f(x)max=2，得sin(.∴f(x)=2sin(?x??6?3)??)=1，
∴?=
?6.
（2）令?x+x=k+即
5912=k?+
?2(k∈Z)得对称轴方程为
21413，由对称轴满足
6512≤k+
13≤
234（k∈Z）
≤k≤且k∈Z，∴k=5.
故在?x=5+
?2123?上f(x）只有一条对称轴. ,?44??13=
163，即对称轴方程为x=
163.
一、选择题 1.
下
列
函
数
中
，
图
像
的
一
部
分
如
下
图
所
示
的
是
（ ）
A.y=sin(x??6) B. y=sin(2x?)?6)
C.y=cos(4x?答案 D
?3 D.y=cos(2x??6)2.（20082全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos(2x?（ ） A.向左平移?B.向右平移
5?12?3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像
个单位长度?
5?12个单位长度?
C.向左平移
5?6个单位长度?
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