3．解：
(1) 18000，3000，102000，153000
(2) 总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1200000；基金b的投资额的剩余变量为
0，表示投资B基金的投资额正好为300000； (3) 总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；
基金b的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。 (4) c1不变时，c2在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变； c2不变时，c1在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。
(5) 约束条件1的右边值在300000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1； 约束条件2的右边值在0到1200000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。 (6)
600000300000??100% 故对偶价格不变。
900000900000
4．解：
(1) x1?8.5，x2?1.5，x3?0，x4?0，最优目标函数18.5。
(2) 约束条件2和3，对偶价格为2和3.5，约束条件2和3的常数项增加一个单位目标函
数分别提高2和3.5。
(3) 第3个，此时最优目标函数值为22。
(4) 在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。 (5) 在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。
5．解：
(1) 约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622； (2) x2目标函数系数提高到0.703，最优解中x2的取值可以大于零；
(3) 根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和
12??100%，所以最优解不变；
14.583?1565(4) 因为??100% 根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价
30?9.189111.25?15格是否有变化。
374
第4章 线性规划在工商管理中的应用
1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。
设按14种方案下料的原材料的根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，模型如下：
表4-1 各种下料方式
2640mm 1770mm 1650mm 1440mm 1 2 0 0 0 2 1 1 0 0 3 1 0 1 0 4 1 0 0 1 5 0 3 0 0 6 0 2 1 0 7 0 2 0 1 8 0 1 2 0 9 0 1 1 1 10 0 1 0 2 11 0 0 3 0 12 0 0 2 1 13 14 0 0 1 2 0 0 0 3 min f＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14 s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4 ?80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10 ?350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13 ?420 x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ?10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14 ?0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0，x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333 最优值为300。
2．解：
从上午11时到下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次安排的临时工的人数, 模型如下：
min f＝16（x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11）
s．t． x1＋1 ?9 x1＋x2＋1 ?9 x1＋x2＋x3＋2 ?9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ?3 x2＋x3＋x4＋x5＋1 ?3 x3＋x4＋x5＋x6＋2 ?3 x4＋x5＋x6＋x7＋1 ?6 x5＋x6＋x7＋x8＋2 ?12 x6＋x7＋x8＋x9＋2 ?12 x7＋x8＋x9＋x10＋1 ?7 x8＋x9＋x10＋x11＋1?7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11 ? 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0，x10＝0，x11＝0
375
最优值为320。
(1) 在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14
时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。
(2) 这是付给临时工的工资总额为80元，一共需要安排20个临时工的班次。
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
------- ------------- -------- 1 0 -4 2 0 0 3 2 0 4 9 0 5 0 -4 6 5 0 7 0 0 8 0 0 9 0 -4 10 0 0 11 0 0
根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。
（3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数 min f＝16（x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8）＋12（y1＋ y2＋ y3＋ y4＋ y5＋ y6＋ y7＋ y8
＋ y9）
s．t． x1＋y1＋1 ?9
x1＋x2＋y1＋ y2＋1 ?9
x1＋x2＋x3＋y1＋ y2＋ y3＋2 ?9 x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋ y3＋ y4＋2 ?3 x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋ y4＋ y5＋1 ?3 x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋ y5＋ y6＋2 ?3 x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋ y6＋ y7＋1 ?6 x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋ y7＋ y8＋2 ?12 x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2 ?12 x7＋x8＋y8＋y9＋1 ?7 x8＋y9＋1?7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9? 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝0，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝0，x8＝6，y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0 最优值为264。 安排如下：
在11：00－12：00安排8个三小时的班，在13：00－14：00安排1个三小时的班，
376
在15：00－16：00安排1个三小时的班，在17：00－18：00安排4个三小时的班，在18：00－19：00安排6个四小时的班。
总成本最小为264元，能比第一问节省：320-264=56元。
3．解：设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的 数学模型：
max z＝10 x1＋12x2＋14x3
s.t. x1＋1.5x2＋4x3?2000 2x1＋1.2x2＋x3?1000
x1 ? 200
x2?250 x3 ?100
x1，x2，x3 ?0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： x1＝200，x2＝250，x3＝100，最优值为6400。
(1) 在资源数量及市场容量允许的条件下，生产 A 200件，B 250件，C 100件，可使生产
获利最多。
(2) A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格
均为0。说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。
4．解：设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22，则可建立下面的数学模型：
min f＝25x11＋20x12＋30x21＋24x22 s．t． x11＋x12＋x21＋x22 ?2000 x11＋x12 ＝ x21＋x22 x11＋x21 ? 700 x12＋x22 ? 450 x11,x12,x21,x22 ? 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000 最优值为47500。
(1) 白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，
晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1000户，可使总调查费用最小。
(2) 白天调查的有孩子的家庭的费用在20到26元之间，总调查方案不会变化；白天调查的
无孩子的家庭的费用在19到25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在－20到25元之间，总调查方案不会变化。
(3) 发调查的总户数在1400到正无穷之间，对偶价格不会变化；
377
有孩子家庭的最少调查数在0到1000之间，对偶价格不会变化；
无孩子家庭的最少调查数在负无穷到 1300之间，对偶价格不会变化。
5．解：设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模型：
min f＝2800x11＋4500x12＋6000x13＋7300x14＋2800x21＋4500x22＋6000x23＋2800x31＋
4500x32＋2800x41
s．t．x11 ? 15
x12＋x21 ? 10 x13＋x22＋x31? 20
x14＋x23＋x32＋x41 ?12 xij ? 0，i，j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝15，x12＝0，x13＝0，x14＝0，x21＝10，x22＝0，x23＝0，x31＝20，x32＝0，x41＝12， 最优值为159600。即 在一月份租用1500平方米一个月，在二月份租用1000平方米一 个月，在三月份租用2000平方米一个月，四月份租用1200平方米一个月，可使所付的 租借费最小。
6．解：设xij表示第i种类型的鸡需要第j种饲料的量，可建立下面的数学模型：
max z＝9（x11＋x12＋x13）＋7（x21＋x22＋x23）＋8（x31＋x32＋x33）－5.5（x11＋x21
＋x31）－4（x12＋x22＋x32）－5（x13＋x23＋x33）
s．t． x11 ? 0.5（x11＋x12＋x13） x12 ?0.2（x11＋x12＋x13） x21 ?0.3（x21＋x22＋x23） x23 ? 0.3（x21＋x22＋x23） x33 ? 0.5（x31＋x32＋x33） x11＋x21＋x31 ?30 x12＋x22＋x32 ?30 x13＋x23＋x33 ? 30 xij ? 0，i，j＝1，2，3
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝30，x12＝10，x13＝10，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝0，x32＝20，x33＝20， 最优值为335。即生产雏鸡饲料50吨，不生产蛋鸡饲料，生产肉鸡饲料40吨。
7．设Xi为第i 个月生产的产品I数量 Yi为第i 个月生产的产品II数量
Zi，Wi分别为第i 个月末产品I、II库存数
S1i，S2i分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米）。则可以
建立如下模型：
Min z=
?(5xi?15i?8yi)??(4.5xi?7yi)??(S1i?S2i)
i?6i?11212 378