推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解.
6.备课材料：三角学知识漫谈.
三角学起源于古希腊.为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（Ｍenelaus of Ａlexandria，公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ｐtolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ryabhata ）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖarahamihira，约505～587年）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Ｎasir ed-Ｄin al Ｔusi，1201～1274年）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（Ｊ·Ｒegiomontanus，1436～1476年）.雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．
三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐitiscus，1561～1613），他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．
16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒhetucus，1514～1574）．他1536年毕业于滕贝格（Ｗittenbery）大学，留校讲授算术和几何．1539年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表．
17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．
三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．
文艺复兴后期，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖieta）对三角公式的研究令人瞩目．他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学
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的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔．给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理．
1722年英国数学家棣莫弗（Ａ.Ｄe Ｍeiver）得到以他的名字命名的三角学定理
?cos??isin??n?cosn??isinn?，并证明了n是正有理数时公式成立；
1748年欧拉（Euler）证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个公式
ei??cos??isin?，这就是著名的欧拉公式，把原来人们认为互不相关的三
角函数和指数函数联系起来了，为三角学增添了新的活力．对三角学的发展起到了重要的推动作用．
近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他率先使用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论．纵观历史我们发现，三角学是源于测量实践，其后经过了漫长时间的孕育，逐渐丰富，演变发展成为现在的三角学.
第二十九章 ：投影与视图 一、主要内容
本章的主要内容包括三节：
29.1投影的基础知识，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念以及正投影的成像规律;
29.2.视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何体的三视图，简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化；
29.3课题学习，制作立体模型.这是由三视图转化为三维立体模型的
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实施活动. 二、教材分析
在学习本章之前，学生已经具有了一定的关于平面图形和立体图形的知识，并且接触过从不同方向观察物体，一些立体几何的平面展开图和立体图形之间的关系.在此基础上，本章学习投影与视图.本章通过讨论简单的立体图形和三视图的转化，以及如何制作立体模型，使学生经历画图，识图等过程，提高空间想象能力.运用几何知识分析和解决实际问题，通过直接的动手和动脑，培养学生的实践能力.本章的学习，无论是学生的动手能力培养还是高中后继的立体几何学习都有着重要的意义.本章内容与其它章有较为明显的区别，它与立体图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目大多属于视图、画图、制作模型等类型，涉及计算的问题不多. 本章的教学目标：1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；
2.通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象力. 三、教学的重点和难点
教学的重点：（1）以分析实际问题为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质.（2）立体图形和三视图的转化，使学生经历画图，识图等过程，分析立体和平面之间的联系，提高学生的空间想象能力. （3）通过模型制作，在实践中加深对投影和视图的认识，加强实践
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能力的培养.
教学难点：（1）正确认识投影和视图的基本概念和基本性质. （2）根据三视图描述几何体，并能解决一些实际的问题. （3）在制作模型的过程中，培养学生的动手能力. 四、课时安排
本章教学时间约需要11课时，具体分配如下：
29.1 投影 2课时
29.2 三视图 5课时
29.3 课题学习 制作立体模型 2课时 数学活动
小结 2课时 五、 学法教法建议
1.重视直观模型，严把课程标准
在本章的教学中，不可避免地要涉及立体几何中的一些基础知识，例如空间中的直线与直线（简称线线）、直线与平面（简称线面）、平面与平面（简称面面）的位置关系（相交、垂直和平行），学生此前缺乏对这些知识的系统学习，只有一些感性的认识.在学习本章之前先系统补充立体几何的基础知识是不合适的，因为这需要增加许多课时，而且扩大了课程标准规定的初中数学学习的内容，加重了学习负担.教科书的编者认为，解决这个问题比较好的做法是重视相关内容与实际的联系，在不刻意追求对抽象概念有透彻理解的前提下，选择一些实例，利用直观的、感性的认识，使学生能结合例子了解这些空
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间位置关系，并能把这种认识迁移到类似情形.教科书正是按照这种想法处理相关内容的.例如，介绍正投影时涉及投影线与投影面的垂直关系（线面垂直），教科书在此处采用结合插图并使用“投影线正对着投影面”这样通俗易懂的语言加以解释，虽然不是十分准确，但能使学生了解其基本意思就够了.又如，介绍正投影的规律时，教科书先后选择了铁丝、正方形纸板和正方体模型等例子，采用插图和文字相结合的方式，按照讨论对数的维数从1、2到3的顺序说明有关平行、斜交和垂直的位置关系.
实际教学要比教科书有更大的灵活性，教学中能动态地展示模型，能直接面对学生授业解惑，应充分发挥这些优势.因此，建议教学中在上述问题的处理上，能注意结合实物模型，充分利用直观演示，比较几种不同的空间位置关系，使学生能够联系例子认识到“象某某那样，就是一条直线平行于一个平面”等，达到这种认识水平就完全可以继续本章的学习了，所以没有必要在本章中插入有关线线、线面、面面位置关系定义的学习，这些定义是学生今后要学习的内容. 2.教学中应重视结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律
数学是数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.很明显，关于投影和视图的知识是从实际需要（建筑、制造等）中产生的，它们与实际问题联系得非常紧密.在本章之前，学生已经数次接触过“从不同方向看物体”等内容，对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解，只是还没有明
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