a?10Kaln21.2?0.58
??0?1200rmin?20r/s a?0100.58?2010k???1.16
电机传递函数为：G(s)??(s)V(s)?Ks(s?a)?1.16s(s?0.58)
3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。?
(1) s4?3s3?3s2?2s?2?0 (2) 0.02s3?0.3s2?s?20?0
(3) s5?2s4?2s3?44s2?11s?10?0 (4) 0.1s4?1.25s3?2.6s2?26s?25?0 答案：
（1）劳斯表如下：
sssss432101373?4723222
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （2）劳斯表如下：
ssss32100.020.3?1320120
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （3）劳斯表如下：
16
ssssss54321012?20223523385102446101110
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （4）劳斯表如下：
sssss432100.11.250.522.6262525
劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定
3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是 G(s)?1s(0.1s?1)(0.2s?1)
采用比例控制器，比例增益为Kp ，试利用劳斯判据确定Kp值的范围。
?
图3.39 习题3.9图
解：G(s)?Kps(0.1s?1)(0.2s?1)3
2特征方程为：D(s)?0.002s?0.3s?s?Kp?0 劳斯表如下：
ssss
320.0020.30.3?0.002K0.3Kp17
p1Kp1
0?0.3?0.002K?要使系统稳定只需?0.3?Kp?0?p?0，解得 0?Kp?150。
3.10.某控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)?K(s?1)s(Ts?1)(2s?1)
试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。
解：由系统开环传函可知
D(s)?s(Ts?1)(2s?1)?K(s?1)?2Ts?(2?T)s?(K?1)s?K?032
劳斯表如下：
ssss3212T2?T2K?(1?K)T?22?TKK?1K
0
由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。若第一列元素均大于0，即
T?0??2?T?0? ??2K?(1?K)T?2?0?K?0?解得K?，2(K?1)?(K?1)T
2(K?1)K?1当K>1时0?T?，当0?K?1时,T?0。
?3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为 ? (1) G(s)?K(s?1)s(s?1)(s?5)K**
(2) G(s)?s(s?1)(s?5)
试确定使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围（注意K≠K*?）
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解：(1) D(s)?0.2s3?0.8s2?(K?1)s?K?0
s3210.20.83K?44KK?1K0劳斯表如下：
sss
0解得：使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围K?(2) D(s)?0.2s3?0.8s2?s?K?0
43。
由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益Ｋ取何值闭环系统都不稳定。 ? 3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)?Ks(1?s/3)(1?s/6)
若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值应取在什么范围?如果要求实部均小于?2，情况又如何?
解：由反馈系统的开环传函
G(s)?s(1?32Ks3)(1?s6)?18Ks(s?3)(s?6)
D(s)?s?9s?18s?18K?0
D(z)?(z?1)?9(z?1)?18(z?1)?18K?z?6z?3z?18K?10?03232（1）令s?z?1,得：劳斯表如下：
zzzz3211628?18K618K?10318K?10
0欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：
?28?18K?0514?K?得 ?99?18K?10?0
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（2）令s?z?2,得：
D(z)?(z?2)?9(z?2)?18(z?2)?18K?z?3z?6z?18K?8?03232
如果要求实部均小于?2，由特征方程可见，a2??6?0，系统稳定的必要条件不成立，无论K取何值，系统都不稳定。
3.13.单位反馈系统的开环传递函数为G(s)? (1) 求系统的单位阶跃响应；
? (2) 输入信号为r(t) =1(t)，求系统的误差函数e(t)； 解：（1） 开环传递函数G(s)?4s(s?2s?2)4s(s?2s?2)?424s(s2?2s?2)
2
闭环传递函数 W(s)?单位阶跃响应
C(s)??4(s?2)(s?2)2
42(s?2)(s?2)s?1?K0s?K1s?213?K2s?K3s?22
K0?1，K1??K2?K3??23
C(s)?1s?223?2s?1?1?1?1?2?s?? 222s?23s?2s3s?23s?23s?2c(t)?1?13e?2t?1?23cos2t?23sin2t
（2）不考虑扰动作用
r(t)?1(t)
2s(0.5s?s?1)2G(s)?
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