Kp?limG(s)??s?0essr?11?Kp?11??
?03.14.某控制系统的结构图如图3.40 所示。
(1) 当a=0时，试确定系统的阻尼比ζ，无阻尼自然振荡频率ωnn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
(2) 当系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707）时，确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
(3) 若要保证系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707），且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少？ 解：(1) 当a=0时，G(s)?8s(s?2)
图3.40 习题3.14图
，W(s)?8s?2s?82，?n?8， ??22?n?18
Kv?limsG(s)?4，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr?s?01Kv?0.25。
(2) 当ζ=0.707时，G(s)?8s(s?2?8a)，W(s)?8s?(2?8a)s?82，?n?8，
2??n?2?22?8?4?2?8a，得a?0.25，G(s)?8s(s?4)，Kv?limsG(s)?2，单位斜坡
s?0信号作用时系统的稳态误差essr?1Kv?0.5。
(3) 此时G(s)?Ks(s?2?Ka)，W(s)?Ks?(2?Ka)s?KK2?Ka2
Kv?limsG(s)?s?0?4
2??n?2?22316?K?2?Ka
联立上两式解得 K?32，a?。
21
3.15．已知单位反馈系统闭环传递函数为
C(s)R(s)?b1s?b0s4?1.25s3?5.1s2?2.6s?10
(1) 求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数b0,b1应满足的条件； ? (2) 在(1)求得的参数b0,b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。 解：（1）等效单位负反馈开环传递函数
G(s)?b1s?b0s?1.25s?5.1s?(2.6?b1)s?10?b0432
根据单位斜坡输入时，稳态误差为0得：
?b0?102.6s?10即开环传递函数为 G(s)??22s(s?1.25s?5.1)?b1?2.6（2）单位抛物线输入时 Ka?limsG(s)?lims?02s(2.6s?10)s(s?1.25s?5.1)222s?0?105.1
essr?CKa?5.110
3.16.系统结构图如图3.41 所示。
? (1) 当r(t) = t， n(t) = t时，试求系统总稳态误差
(2) 当r(t) = 1(t)，n(t) = 0时，试求?p,tp。
图3.41 习题3.16图
解：（1）
参考作用下的误差传递函数为 N(s)?0,Er(s)?11?G(s)?R(s)?1?14s(2s?1)?R(s)
稳态误差为
essr?limsEr(s)?lims?s?0s?02s?s222s?s?4s?12?0.25
或
22
Kv?limsG(s)?limss?0s?04s(2s?1)?4essr?1Kv
?0.25扰动作用下的误差传递函数为 R(s)?0,En(s)??11?G(s)N(s)??1?14s(2s?1)N(s)
稳态误差为
essn?limsEn(s)?lims?(?s?0s?02s?s2s?s?422)?1s2??0.25
系统总误差为
ess?essr?essn?0
（2）当r(t) = 1(t)，n(t) = 0时，G(s)?G(s)1?G(S)42s?s?424s(2s?1)，
2s?0.5s?22W(s)?????n222ns?2??ns??
??n?2?解得：??1
???42????1??2??31?p?e?100%?e 4?31tp???n1??2??2?1?132?
3.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为 ?? G(s)?100s(0.1s?1) ??
23
试求当输入信号r(t)=1?2t?t2时，系统的稳态误差。 解：系统为I型系统 Kv?limsG(s)?limss?0s?0100s(0.1s?1)?100，Kp??,Ka?0
ess?A1?Kp?BKv?CKa?0?0.02????
3.18.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3.42（a）、（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。
(a) (b)
图3.42 习题3.18图
（1） 若r(t)?1(t)，n(t)?0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ （2） 当有阶跃扰动n(t)?0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。 解：（1）
开环：C?s??110s?110.1s?1?R?s?
达到稳态温度值的62.3%需时T?10 闭环：C?s???R?s?
达到稳态温度值的62.3%需时T?0.1
（2） 开环：C?s??闭环：C?s??110s?1110s?100?N?s? ?N?s?
各项指标不变。
又解：can(t)=0.1，加干扰后对系统始终有影响；
24
cbn(t)=0.1e
-10t
，加干扰后，当t趋于无穷时，对系统没有影响。
结论：反馈结构可以消除干扰的影响。 4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数
G(s)?Ks?1
试用解析法绘出K从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (?2，j0)，(0+j1)，(??3+j2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。（-2，+j0）在根轨迹上；(0,+j1), (-3, +j2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
G(s)?K(3s?1)s(2s?1)
试用解析法给出开环增益K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K=0时：s=-1/2，0；K=1：s=-1±2/2；K=-∞：s=-∞，-1/3。根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图
25