证明：（1）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的的正规方程：
?eXii???XY??0，可得?1的估计值：??ii1??X?；
2i?为无偏估计量； （2）在基本假设E(?i)?0下，?1?是?的OLS估计量。 （3）只有?11?X)?0得 解答：（1）由正规方程?Xi(Yi??1i
?XYii22????1?Xi 求解得 ?1?(?XiYi)/(?Xi)
??(XY)/(X2)，求期望：E(??)?E(XY/X2) （2）对于??ii?i?ii?i11?(
?(11)E(XY)?()E[Xi(?1Xi??i)]ii2?2?XX?i?i112)?(X)?()XiE(?i)??1?1i22??Xi?Xi
?X)2 （3）OLS方法要求残差平方和最小：Min RSS??ei2??(Yi??1i?X)?0 ?X)(?X)?0，即?求偏导得： ?RSS?2(Y??Xi(Yi??关于???1ii1ii1???1???XY???ii1??X? 可见只有??是OLS估计量。
2i1
4. 表1是以进出车站的乘客为主要服务对象的10家便利店的数据。y是日均销售额，x1是店铺面积，x2是作为选址条件的店铺距车站的距离。
表1 日均销售额、店铺面积和店铺距车站的距离的数据
店铺 日均销售额（万元）店铺面积（平方米）x1 店铺距车站的距离（100米）x2 y A B C D E 40 45 80 60 50 60 100 85 50 75 3 5 2 1 3 21
F G H I J 20 15 90 30 70 55 70 95 45 65 4 6 1 3 2 Eviwes运行结果见下表：
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 04/22/06 Time: 15:28 Sample: 1901 1910 Included observations: 10
Variable C X1 X2
R-squared
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
Coefficient 36.41214 0.754585 -13.07769
Std. Error 8.171938 0.105887 1.213087
t-Statistic 4.455753 7.126326 -10.78050
Prob. 0.0030 0.0002 0.0000
0.956605 Mean dependent var 50.00000 0.944206 S.D. dependent var 5.918273 Akaike info criterion 245.1817 Schwarz criterion -30.18646 F-statistic 1.809788 Prob(F-statistic)
25.05549 6.637292 6.728067 77.15446 0.000017
要求：（1）根据Eviwes运行结果，写出多元回归模型y??0??1x1??2x2??的样本回归方程；
（2）写出判定系数R2和调整的判定系数R2；
（3）假设其他条件不变，店铺面积增加1平方米，日均销售额能增加多少元？
（4）假设其他条件不变，店铺距车站的距离比现在远100米，日均销售额会减少多少元？
22
（5）假设有人想新建一个店铺K店，计划店铺面积为80平方米，距车站
?300米，试预测其日均销售额yK。
解答：（1）根据Eviwes运行结果，可知样本回归方程为：
??36.412?0.7546x1?13.078x2 y（2）判定系数R2为0.956605和调整的判定系数R2为0.944206。 （3）假设其他条件不变，店铺面积增加1平方米，日均销售额能增加7546元。
（4）假设其他条件不变，店铺距车站的距离比现在远100米，日均销售额会减少130776.9元。
（5）假设有人想新建一个店铺K店，计划店铺面积为80平方米，距车站
?300米，试预测其日均销售额yK为：
。 36.41241?0.754585?80?13.07769?3?57.576444（万元）
5. 求多元模型系数bi的最小二乘估计（值）时，是否需要多元线性模型的假定4作为条件？
解答：对系数bi的最小二乘估计时，需要多元线性模型的假设4作为条件。 由B?(X/X)?1X/Y可知，有关矩阵X的假定：X是k?1列确定的（非随机性）数值矩阵，rank(X)?rank(X/X)?k?1?n这一需要满足，此时参数bi的估计值有且仅有唯一解。
若rank(X)?rank(X/X)?k?1，即X'X为奇异阵，X/X?0；(X/X)?1不存在（即：不可求），则B?(X/X)?1X/Y无法计算，所以，不能得到各参数的估计值。这时，解释变量之间将存在完全的多重共线性。（回答完毕）。
进一步的讨论：
所以，在多元模型中，如果满足了假定4，就可以进行参数的估计了，但，如果不满足其它假定，则不能保证是BLUE，也即，估计值是不准的，是不靠近真值的，但可以实现估计的过程。只有满足了全部的4个假定，才能使参数估计
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??量为BLUE。
而在一元模型的估计中，如果不满足4个假定，也能进行最小二乘法的估计，但参数估计量不是BLUE，也即，估计值是不准的，是不靠近真值的。只有满足了全部的4个假定，才能使参数估计量为BLUE。
一元或多元模型是否满足4个基本假定，可以从数据状况分析，实际情况分析，理论和机制分析等几方面加以综合研究，并得出相应的判断。
6. 某二元线性回归模型，有关的数据如下表：（此例较为完整地展示了多元线性回归模型的方方面面，比较典型，注意对照课堂上学习的内容，注意每一个矩阵及其所含各元素的意义，还要注意每一个矩阵的行列下标的数目及变化）。
1 2 3 4 5 要求： （1）写出Y，X；
（2）计算回归参数的估计值并写出模型； （3）计算样本判定系数R2和调整判定系数R； （4）计算检验统计量F值。
（5）计算?2和各参数估计量的标准差。
?3??1?1??1???解答：（1）Y??8?,X??1???3???1???5???135?14??56?
?24?46???Y 3 1 8 3 5 X1 3 1 5 2 4 X2 5 4 6 4 6 2?20??51525??，X/X??155581?， 76（2）X/Y?????????109???2581129??
24
(X/X)?1?26.74.5?8.0??4.0???，B?(X/X)?1X/Y??2.5? ??4.51.0?1.5????????8.0?1.52.5????1.5??估计出库存费用的样本回归方程为：
y?4.0?2.5x1?1.5x2
?ESSB/X/Y?nY2（3）R???0.9464 2/TSSYY?nY2n?1R?1?(1?R2)?0.8929
n?k?1（4）F?B/X/Y?nY/kY/Y?bX/Y/n?k?1YY?B/X/Y?0.75 （5）??n?k?1?2/??2?2?/?17.6667
（教材中有以上4个公式的非矩阵形式的计算公式）
??0.75?0.8660，S(b0)??C11?0.866026.7?4.4749
S(b1)??C22?0.86601?0.8660，S(b2)??C33?0.86602.5?1.3693
判定系数R2和调整的判定系数R2的相互关系公式为：
R?1?(1?R2)2???????n?1
n?k?1判定系数R2的值要比调整的判定系数R2的值大。
，R2增加（只可能增k增加，?ei2减小（严格地说，不会增大只可能减小）
加，不会减小）。k?0，则R2?R2，当k增加时，R2与R2之间的差距增加，R2有可能为负值，这与R2不同，因为0?R2?1。当k保持不变，而n增加，则R2将变大。
7. 对下列模型：Yi????Xi?2Zi?ui （1）
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