Yi????Xi??Zi?ui （2）
求β的最小二乘估计值。
解答：将模型（1）改写成(Yi?2Zi)????Xi?ui，则?的估计值为：
????(Xi?X)(Yi?2Zi?Y?2Z)?(Xi?X)2
将模型（2）改写成Yi????(Xi?Zi)?ui，则?的估计值为：
????(X?Z?X?Z)(Y?Y)
?(X?Z?X?Z)ii2ii此例表明：我们可以对模型中的变量进行变量变换。
这种代换不但可以对线性变量进行形式变换，而且可以将非线性变量变为线性变量，从而把可线性化的非线性模型变换为线性模型。而非线性的参数却很难变为线性参数，所以模型的参数非线性问题是很难处理的。
为什么计量经济学模型大都采用线性函数？
解答：第一，现实中的经济问题有一部分确实是线性的；第二，有一些非线性的经济问题在用线性模型表示（替代）后，误差不大，所以，完全可以采用线性模型进行替代；第三，很多非线性问题，通过变量的变换，都可以转化为线性模型。所以，计量经济学主要采用线性函数是有可靠的现实依据的。
8. 设有两个消费函数的计量经济模型
(a) Y?137.47?0.773X(5.87)R2?0.86??(10.65)n?25
(b) Y?254.27?0.216X(4.372)R2?0.89(?2.54)n?20
其中：Y表人均消费支出，X表人均可支配收入，括号中数值为t统计量的计算值。
要求：（1）选择你认为合理的模型，并说明你的理由。
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（2）对你选择的模型，给出斜率的经济意义解释（单位为美元）。 解答：（1）合理的应模型为（a），原因是边际消费倾向（X的系数）不可能为负值，这样，才符合理论预期。
因为，经济意义检验是第一位的，是首要的。在经济意义合理的情况下（经济意义检验通过后），再对不同模型的统计检验指标进行比较。
（2）当人均可支配收入增加1美元时，人均消费支出平均增加0.773美元。
比较和选择模型的一般程序是：
（1）考察参数估计值（变量系数）的经济意义，即，进行经济检验，这是首先要做的，是第一位的；（2）第二步，在各模型的经济检验都通过的情况下，再考察各模型的解释变量是否通过了t检验；（3）第三步，在（1）（2）步都通过的情况下，再看哪个模型的判定系数的值最大，就选哪个模型为合理（理想、最佳或最终）的模型。
9．观察下列方程并判断其变量和系数是否呈线性？进一步的问题：哪些模型可转化为线性模型？哪些不能？哪些本身就是线性模型？
（1）Yi??0??1Xi3??i （2）Yi??0??1(?2Xi)??i （3）Yi??0??i （4）Yi??0??1X1i??2X2i10??i ?1Xi解答：（1）变量非线性、系数线性；（2）变量线性、系数非线性； （3）变量、系数均为非线性；（4）变量、系数均为线性.
（1）可进行变量线性化，可转化为线性模型；（2）（3）参数无法线性化，无法转化为线性模型（4）本身就是线性模型。（关于计量经济模型结构的线性的特点或定义请参见教材P51）。
10. lnY?0.47?0.32lnX，X为企业销售收入，Y为研发支出（R&D），问：X增加1％和10％，Y增加的比例？
解答：0.32×1％＝0.32％，；0.32×10％＝3.2％。
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?
11. 考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年的美国数据）（括号中给出的是标准差）：Ct?26.19?0.624GNPt?0.4398Dt
se：（2.73）（0.0060） （0.0736）
R2=0.999
1?C??D??25.92?0.6246?0.4315 ????GNPGNPGNP??t??tt（0.0597） se： （2.22） （0.0068）R2=0.875
式中，C为总私人消费支出；GNP为国民生产总值；D为国防支出；t为时间。 研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。
（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？
（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？
（3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。 （4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？ （5）能否将两个回归方程中的R2加以比较？为什么？ 解答：（1）原因有二：
第一，将被解释变量和解释变量均转换为支出与GNP的比值，可以表示出该项支出在国民生产总值中的比重，这更加强了模型对于经济现象的解释作用。
第二，有可能是因为该模型中出现了异方差的现象，转换方程是想变异方差为同方差，为了使估计结果为BLUE估计量。
（2）误差项?i的期望为零，方差为GNPi2，即
E??i??0，var??i??GNPi2
（3）基于（2）的假设，通过这样的转换，转换后模型的随机误差项?i*已具有如下特点：
??i? E????E??GNP???0
i??*i?i*??E?? va?r
*2i???i?12????E??E??1 i2?GNP?GNiPi??28
2这样的误差项已符合使用OLS获得良好估计的假定，可以说是已消除了异方差。
（4）变换后的回归模型是不一定通过原点的。
?D??C?在本例中，变换后的模型解释变量为?，被解释变量为，而????GNP?t?GNP?t1这一项近似地等于零，可以忽略不计。因此，模型中还有一个正截距，不GNPt会通过原点。
（5）不能单纯地用R2的值对两个回归方程进行比较。
虽然，R2值表示的是解释变量对被解释变量的解释程度的大小，R2越接近1，表示模型的解释能力越强。但是，在本例中，由于原始模型中的误差项具有异方差性质，这时R2值的大小是受到怀疑的，因为有可能是异方差的存在，影响了模型的R2值。所以转换前后模型的R2孰小孰大，并不能据此判断两个模型的解释能力孰弱孰强，需要进行更深入和具体的分析。
12．在研究生产函数时，得到以下两种结果：
?t=-5.04 + 0.8871nKt + 0.8931nLt (A) 1nY S.E.= (1.40) (0.087) (0.137) R2=0.878 n=21
?t=-8.57 + 0.0272t + 0.4601nKt + 1.2851nLt (B) 1nYS.E.= (2.99) (0.020) (0.333) (0.324) R2=0.889 n=21
其中，Y=产量，K=资本，L=劳动，t=时间，n=样本容量。
请回答：
(1) 验证模型(A)中所有的系数在统计上都是显著的(5％)； (2) 验证模型(B)中t和lnK的系数在统计上不显著(5％)； (3) 可能什么原因造成了(B)中lnK的系数不显著;
(4) 如果t与lnK的相关系数为0.98，你将如何判断并能得出什么结论? 解答: (1) 模型(A)中三个系数对应的t统计量分别为:
?5.040.8870.893=-3.6 =10.195 =6.5182 1.400.0870.137查t分布临界值表得t0.025(18)=2.101，模型(A)中三个系数t统计量的绝对值
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均大于临界值2.101，因此所有的回归系数在统计上都是显著的。
(2) 模型(B)中t和lnK的系数对应的t统计量分别为：
0.02720.460=1.36 =1.38
0.02000.333查t分布临界值表得t0.025(17)=2.11，模型(B)中t和lnK的系数对应的t统计量绝对值均小于临界值2.11，因此回归系数在统计上不显著。
(3) 造成模型(B)中lnK系数不显著的原因是由于新变量t的引入，t与lnK之间可能存在严重的多重共线性。
(4) t与lnK的相关系数为0.98，表明两者相关程度很高，模型(2)存在严重的多重共线性。
13．某地区供水部门利用最近15年的用水年度数据得出如下估计模型：
?=-326.9 + 0.305HO + 0.363PO – 0.005RE – 17.87PR – 1.123RA W (-1.7) (0.9) (1.4) (-0.6) (-1.2) (-0.8)
R2=0.939 F=38.9
其中，W(Water)—用水总量(百万立方米)，HO(House)—住户总数（千户），PO(Population)—总人口（千人），RE(Revenue)—人均收人(元)，PR(price)—价格(元／100立方米)，RA(rain)—降雨量(毫米)。
(1) 根据经济理论和直觉，预计回归系数的符号是什么(不包括常量)? 为什么? 观察符号与你的直觉相符吗?
(2) 在10％的显著性水平下，请进行变量的t检验与方程的F检验。t检验与F检验结果有相矛盾的现象吗?
(3) 你认为估计值是①有偏的；②无效的或③不一致的吗? 详细阐述理由。 解答: (1) 在其他变量不变的情况下，一城市的人口越多或房屋数量越多，则对用水的需求越高。所以可期望HO和PO的符号为正；收入较高的个人可能用水较多，因此RE的预期符号为正，但它可能是不显著的；如果水价上涨，则用户会节约用水，所以可预期PR的系数为负；如果降雨量较大，则草地和其他花园或耕地的用水需求就会下降，所以可以期望RA的系数符号为负。从估计的模型看，除了RE之外，所有符号都与预期相符。
(2) t统计量检验单个变量的显著性，F统计量检验回归方程总体线性显著与
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