例2.8求解析函数f (z )=u +iv,u = x 2 y 2 + xy, f (i ) = 1 + i.解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件， 先求出v的两个偏导数。 v u v u = = 2 y x, = = 2x + y x y y x( x, y ) ( 0,0 )
则v( x, y ) = ∫0
( 2 y x ) dx + ( 2 x + y ) dy + Cy 0
= ∫ ( x ) dx + ∫ ( 2 x + y ) dy + Cx
1 2 1 2 = x + 2 xy + y + C 2 211