18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD
中（图1），E是BC
的中点，DB
DC 1,BC ，AB AD 将（图1）沿直线BD起，使二面角A BD C为60（如图2） （1）求证：AE 平面BDC； （2）求二面角A—DC—
B的余弦值。 18.解：
（1） 如图取BD中点M，连接AM，ME
。∵AB AD
图1
图2
AM BD
DB 2，DC 1,BC DB DC BC, ∵
所以 BCD是BC为斜边的直角三角形，BD DC, ∵E是BC的中点,∴ME为 BCD的中位线ME//
222
1
CD ， 2
ME BD,ME
1
2
AME是二面角A BD C的平面角 AME=60 …………………………3分
AM BD,ME BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
BD 平面AEM AE 平面AEM BD AE
∵AB AD
,DB 2 ABD为等腰直角三角形 AM
1
BD 1， 2
AE2 AM2 ME2 2AM ME cos AME 1
113 2 1 cos60 AE 4242
AE2 ME2 1 AM2 AE ME
（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M xyz， 则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),E(0,
BD ME,BD 平面BDC,ME 面BDC AE 平面BDC ………………6分
1
,0)， 2
13
A(0,,),D( 1,0,0),C( 1,1,0),
22
1DA (1,,),DC (0,1,0), AE (0,0, ) …………………8分
222
设平面ACD的法向量为 (x,y,z)
n DA 0
则 n DC 0
13
z 0 x y
22
y 0