MFMF
12
ey0 a ey0 a
M F1 eyM F
2
a a
ey
等轴双曲线：双曲线x2 y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y
x
，离心率e
2
.
共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.
xa
22
yb
22
与
xa
22
yb
22
xa
22
互为共轭双曲线，yb
22
xa
22
yb
22
0
.
共渐近线的双曲线系方程：渐近线为
xa yb
( 0)
xa
的渐近线方程为
22
xa
22
y22
0
如果双曲线的
0时，它的双曲线方程可设为
yb
22
( 0)
.
例如：若双曲线一条渐近线为y解：令双曲线的方程为：
x
2
2
12
x
且过p(3,
12
)
4
y ( 0)，代入(3,
12
)
得
x
2
8
y
2
2
1 直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“ ”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. 若P在双曲线
xa
22
yb
22
1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距
PF
1
离比为m︰n. 简证：
d1d
2
ePFe
2
=
mn
.
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 注：①ay by c x顶点(
2
4ac b4a
2
b2a
P2
).
②y2 2px(p 0)则焦点半径
PF x
;x2 2py(p 0)则焦点半径为PF
y
P2
.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④
x 2pt2
y 2px（或x 2py）的参数方程为
y 2pt
2
2
（或
x 2pt y 2pt
2
）（t为参数）.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质