证明用数学归纳法证明.
x 1=x2+ax+a,命题成立.当n=2时,D2=a122x+a1假设对于(n 1)阶行列式命题成立,即
Dn 1=xn 1+a1xn 2+ +an 2x+an 1,
则Dn按第一列展开,有
1
Dn=xDn 1+an( 1)n+1 x
1
0 1 1
00 x
00 1
=xDn 1+an=xn+a1xn 1+ +an 1x+an.因此,对于n阶行列式命题成立.
6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得
an1 annD1= ,
a11 a1n
证明D1=D2=( 1)
证明
n(n 1)2
a1n annann a1n
D2= ,D3= ,
a11 an1an1 a11
D,D3=D.
因为D=det(aij),所以
a11
an1 ann
D1= =( 1)n 1an1
a11 a1n
a21a1nann a2n