§1.2数列极限(13)

分析: 由数列极限的几何意义知, >0, 则 N, 使 得n>N时, xn ( a– , a+ ), 即在 a 的任一 邻域内聚集 着xn中的无穷多个点, 而在该邻域之外至多有 xn中的 有限个点. a b ( ) ( ) 证:用反证法. 设 lim xn a, 又 lim xn b, 且a≠b,b a 0, 由 lim xn a 及 lim xn b, 不妨设a < b. 取 n n 2 b a a b , xn ; 则 N1, 使得n>N1时, 恒有 x n a 2 2 b a a b , xn . 又 N2, 使得n>N2时, 恒有 x n b 2 2 a b a b 与 xn 取N=max{N1, N2}, 则当 n>N 时, x n 2 2 两式同时成立, 两者矛盾. 这说明结论成立.n n