3. 保号性定理3: 如果 lim x n a , 且a>0 ( 或a<0 ), 那么, N,n
使得 n>N 时, 恒有 xn>0 ( 或 xn<0 ).
a 证: 由于 lim x n a , 且a>0, 则取 , 那么, N, n 2 a 使得 n>N 时, 恒有| xn–a |< , 即| xn–a |< , 从而有 2 a a a xn a , 2 2 a 即 x n 0. 故结论成立. 2 推论:如果数列{xn}从某项起有xn 0 (或xn 0), 且 lim x n a , 则a 0 (或a 0)n
定理3的推论是定理3的逆否命题.