注①: 此极限定义习惯上称为极限的 –N定义. 它 用
动态指标 和N刻画极限的实质, 用| xn–a |< 定量地 刻画了xn与a之间的距离可以任意小, 即任给 >0, 标志 着“要多小可以有多小”的要求, 用n>N表示n充分大. 这个定义有三个要素: 10, 正数 ; 20, 正数N; 30, 不等式 |xn-a|< ( n>N以后的所有xn ).
注②: 定义中的N是一个特定的项数, 与给定的 有关, 有时记作N( ). 重要的是它的存在性, 它是在 相 对固定后才能确定, 且由| xn–a |< 来选择. 一般说来, 越小, N越大, 但须注意, 对于一个固定的 , 合乎定义要 求的N不是唯一的. 用定义验证 xn 以 a 为极限时, 关键 在于设法由给定的 , 求出一个相应的 N, 使当 n>N时, 不等式| xn–a |< 成立。