峰炜佳奇·状元教育
【2012朝阳一模文】18. 已知函数f(x) ax2 1 ex,a R. （Ⅰ）若函数f(x)在x 1时取得极值，求a的值； （Ⅱ）当a 0时，求函数f(x)的单调区间.
（18）解：（Ⅰ）f (x) ax2 2ax 1 ex.x R ……………………2分 依题意得f (1) (3a 1) e=0，解得a
1
. 经检验符合题意. ………4分 3
2
（Ⅱ）f (x) ax2 2ax 1 ex，设g(x) ax 2ax 1，
（1）当a 0时，f(x) e，f(x)在 , ……5x
（2）当a 0时，方程g(x) ax 2ax 1=0的判别式为 ， 令 0, 解得a 0（舍去）或a 1.
1°当a 1时，g(x) x 2x 1 (x 1) 0
2x
即f (x) ax 2ax 1 e 0，
222
且f (x)在x 1两侧同号，仅在x1时等于，
……………………7分
2ax 1 0恒成立，
上为单调减函数. ……………9分
0，
2
，
1 作差可知 1 ， aa
上则当x 1 时，g(x) 0，f (x) 0，f(x)在( , 1为单调减函数；