峰炜佳奇·状元教育
1
【2012房山一模文】18.设函数f(x) 3
x3 2ax2 3a2x a(a R). （Ⅰ）当a 1时，求曲线y f(x)在点 3,f(3) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间和极值；
（Ⅲ）若对于任意的x (3aa,，都有)f(x) a 1，求a的取值范围. 18．（本小题共13分）
解：（I）∵当a 1时，f(x)
13
x3
2x2 3x 1，………………………f (x) x2 4x 3 2分
当x 3时，f(3) 1，f (3) 0 3 ∴曲线y f(x)在点 3,f(3) 处的切线方程为y 1 04分
（II）f (x) x2
4ax-3a2
(x a)(x 3a)5分 a 0时，f (x) 0，( , )6分
(x) 0； 在区间(a,3a)上，f (x) 0， (a,3a)是函数的单调增区间， f(a) a
43
a3
；………………8分 ax)
0； 在区间(3a,a)上，f (x) 0，
(3a,a)是函数的单调增区间
f(3a) a ………………10分 (III) 根据（II）问的结论，x (3a,a)时，f(x) f(a) a 4
3
a3………………11分
因此，不等式f(x) a 1在区间(3a,a)上恒成立必须且只需：
a 4a3 a 1 3，解之，得 a ……………………13
a 0 分