30．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合． （1）求点F的坐标和∠GEF的度数； （2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；
（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
答案与评分标准
一．解答题（共30小题）
1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为（﹣3，1）． （1）求直线AB的解析式；
（2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值．
考点：一次函数综合题。 分析：（1）先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式即可；
（2）根据AB中点为M，求出点M的坐标，再求出CM的解析式，过点P做PH⊥CO交CO于点H，用t表示出OQ和PH的长，根据S=OQ?PH即可求出S与T的函数关系式； （3）此题需分四种情况分别求出T的值即可． 解答：解：（1）∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOC=90°
∵∠BOD=90°，
∠OBD+∠BOD=90°， ∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB∠AOC=∠BOD=90°， ∴△AOC≌△OBD， ∴AC=OD，CO=BD ∵A（﹣3，1），
∴AC=OC=1，OC=BD=3， ∴B（1，3）， ∴y=x+；
（2）M（﹣1，2），C（﹣3，0）， ∴直线MC的解析式为：y=x+3 ∴∠MCO=45°，
过点P做PH⊥CO交CO于点H，
S=OQ?PH=（3﹣t）×t=t+t（0＜t＜3） 或S=（t﹣3）t=t﹣t（3＜t≤4）；
2
2
（3）t1=，t2=，t3=，t4=2．
点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要注意分类讨论，关键是能用t表示出线段的长度求出解析式．
2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（
，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在
一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；
（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论； （3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON． 解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C（﹣3，1）， 由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；
（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∴BC=BD，
∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；
（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（∴P（﹣，），
由y=x+2知M（﹣6，0）， ∴BM=5，则S△BCM=．
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积， 则BN?=×， ∴BN=
，ON=
，
，k）是线段BC上一点，
∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上， ∴N（﹣
，0）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
3．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0） （1）求k的值．
（2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．
考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。 专题：动点型。 分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；
（2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式； （3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置． 解答：解：（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=；
（2）由（1）得y=x+6，又OA=6， ∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x＜0）；
（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4， 此时y=x+6=3，
∴P（﹣4，3）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．
4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点
，直线l经过点C，
（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式； （3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数
的图形上，求直线l所表达的函数关系式．
考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质。 专题：存在型。 分析：（1）若△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质可求E点坐标，用“两点法”求直线l解析式； （2）分别过A、B两点作x轴的垂线，与直线l相交，可得两个直角三角形，若直线l上有一点F（2，1），可得△ABF为等腰直角三角形，用“两点法”求直线l解析式； （3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数y=kx+
，与函数
的图形有一个交点，②当直线l与x轴不平行时，设直线l解析式为
联立解方程组，得出唯一解时k的值即可．
），
解答：解：（1）当直线l上存在一点E，使△ABE为等边三角形时，E（2，设直线l解析式为y=kx+将E（2，解得k=﹣
），代入2k+，
（4分） ， =
，
∴直线l解析式为
（2）当在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形时， 设直线l上的点为F，则A、B、F都可能作为直角顶点，
当F为直角顶点时，△ABF为等腰直角三角形，此时F（2，1），