（2）设t秒后直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分，则 BN=t，CN=6﹣t，OM=2t，MA=9﹣2t 当S四边形OMNC：S四边形NMAB=1：2时
解得：t=﹣1（舍去）
当S四边形OMNC：S四边形NMAB=2：1时
，
解得t=4
∴t=4时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两部分．
（3）存在满足条件的Q点，如图：Q（9.5，2），Q1（8.5，﹣2），Q2（0.5，6）．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，图形的面积，直线的解析式与二元一次方程组的关系，勾股定理及三角形全等的性质的运用．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？
考点：一次函数综合题。 分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t． 解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b 由题意，得
，
解得 ，
所以，直线AB的解析式为y=﹣x+6；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10， 所以AP=t，AQ=10﹣2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB． 所以 =解得t=
， （秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB． 所以 解得t=
=
，
（秒）；
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（x，y），PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，C（a，0），点E在y轴上，点D，F在x轴上，AD=OB=2FC，EO是△AEF的中线，AE交PB于点M，﹣x+y=1． （1）求点D的坐标；
（2）用含有a的式子表示点P的坐标； （3）图中面积相等的三角形有几对？
考点：一次函数综合题；列代数式；点的坐标；三角形的面积。 分析：（1）根据P点坐标得出A，B两点坐标，进而求出﹣x+y=DO，即可得出DO的长，即可得出D点坐标； （2）利用C点坐标得出CO的长，进而得出y与a的关系式，即可得出P点坐标；
（3）利用三角形面积公式以及AO与FO的关系，进而得出等底等高的三角形． 解答：解：（1）∵P（x，y），PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B， ∴A（x，0），B（0，y）， 即：OA=﹣x，BO=﹣y， ∵AD=BO，
∴﹣x﹣DO=﹣y， ∴﹣x+y=DO， 又∵﹣x+y=1，
∴OD=1，即：点D的坐标为（﹣1，0）．
（2）∵EO是△AEF的中线， ∴AO=OF=﹣x， ∵OF+FC=CO，
又∵OB=2FC=﹣y，OC=a， ∴﹣x﹣=a， 又∵﹣x+y=1， ∴y=1﹣a， ∴y=∴x=∴P（
， ， ，
）；
（3）图中面积相等的三角形有3对，
分别是：△AEO与△FEO，△AMO与△FBO，△OME与△FBE．
点评：此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求法和坐标系中点的坐标与线段长度关系，根据已知得出y=1﹣a是解题关键．
14．如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、OC的长是方程x﹣15x+36=0的两根． （1）求P点坐标； （2）求AP的长；
（3）在x轴上是否存在点Q，使四边形AQCP是梯形？若存在，请求出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．
2
考点：一次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行线分线段成比例；解直角三角形。
2
分析：（1）通过解方程x﹣15x+36=0，得OP、OC的长度，即可推出P点的坐标，（2）根据直角三角形的性质，推出Cos∠ABC==Cos∠ACO=
，结合已知条件即可推出AP的长度，（3）首先设出Q点的坐标，然后根据
，
即可求出OQ的长度，即可得Q点的坐标，然后根据P和Q点的坐标即可推出直线PQ的解析式．
2
解答：解：（1）∵PO、OC的长是方程x﹣15x+36=0的两根，OC＞PO， ∴PO=3，OC=12（2分） ∴P（0，﹣3）（2分）
（2）在Rt△OBC与Rt△AOC中，cos∠ABC==cos∠ACO， ∴
（1分）
设CO=4K，AC=5K，∴CO=4K=12，K=3 ∴AO=3K=9，∴A（﹣9，0）（2分） ∴AP=（1分）
（3）设在x轴上存在点Q（x，0）使四边形AQCP是梯形， 则AP∥CQ，∴
，
∵OA=9，OP=3，OC=12， ∴OQ=36，则Q（﹣36，0）（2分），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P（0，﹣3），Q（﹣36，0）代入，得
，
解得：
∴所求直线PQ的解析式为y=﹣x﹣3（2分）
点评：本题主要考查解整式方程、解直角三角形、勾股定理、平行线的相关性质、求一次函数解析式，关键在于确定P点的坐标；根据解直角三角形求得AP的长度；根据平行线的性质，确定OQ的长度，确定Q点的坐标．
15．已知函数y=（6+3m）x+（n﹣4）．
（1）如果已知函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点（﹣1，1），先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以及y轴围成的三角形面积；
（2）如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；
（3）点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在（2）的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．
考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题。
分析：（1）根据所给的条件求出m，n的值，然后确定这两条直线，求出它们与y轴的交点坐标，以及这两条直线的交点坐标，从而求出面积．
（2）根据正比例函数可求出n的值，以及根据P点坐标的情况，确定函数式，P点的坐标有两种情况． （3）等腰三角形的性质，有两边相等的三角形是等腰三角形，根据此可确定Q的坐标． 解答：解：（1）据题意得6+3m=3解得m=﹣1 把x=﹣1，y=1代入y=3x+n﹣4得n=8（1分） ∴已知函数为y=3x+4当x=0时y=4，A（0，4） ∴另一函数y=﹣x+8当x=0时y=8，B（0，8）（2分） AB=4
解得
，C（1，7）（1分）
（1分）
（2）据题意可知n=4
设正比例函数y=（6+3m）x（6+3m≠0），反比例函数根据正反比例函数的图象可知，
当点P的坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）时当点P的坐标为（1，﹣1）或（﹣1，1）时
y=x，
（3分）；
，y=﹣x，
（3）Q（±1，0）Q（±2，0）．（2分）
点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是知道两直线平行斜率相等，以及正比例函数的形式以及反比例函数与一次函数的交点问题，以及等腰三角形的性质．
16．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程
的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC
边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求线段OA和OC的长； （2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。 分析：（1）通过解答题目中的一元二次方程的根就是OA、OC的长．
（2）由折纸可以知道CD=OC，从而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D点的坐标． （3）存在满足条件的M点，利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标． 解答：解：（1）