所以P（3，）．
（2）0=﹣x+4． x=4． 4×
×=2
．
故面积为2．
（3）当E点在OP上运动时， ∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为∴S=
a?a﹣×
a?a=
a．
2
a，
当点E在PA上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为﹣∴S=（﹣
a+4
）a﹣（﹣
a+4
a+4．
a+2
2
）a=﹣a．
点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（0，1），以OA、OC为边在第一象限内作矩形OABC，点D（x，0）（x＞0），以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直线MA交y轴于点N，连接ND． （1）求证：①A、B、M、D四点在同一圆周上；②ON=OA；
（2）若0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；
（3）在点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。 分析：（1）①取BD中点P，连接PM，PA，利用圆的定义可证；
②过M作ME⊥x轴于E，MF⊥直线AB于F，则△MDE≌△MBF，得ME=MF，从而得到四边形MFAE是正方形，得∠MAO=∠ONA=45°得ON=OA； （2）由（1）的②可以设M（a，b），在正方形MEAF中把a、b用含x的式子表示出来，就知道△DAM的高，从S△MDN=S△ADN﹣S△MDA，而得出结论．
222
（3）当0＜x＜3时，显然不存在；当3＜x≤4时，假设存在，则根据勾股定理就有MN=MD+DN，从而可以求出D点的坐标． 解答：（1）证明：①作BD的中点O，连接WO、AO ∵△DMB是等腰直角三角形 ∴DM=BM，MO=BO=DO=BD ∵四边形OABC是矩形 ∴∠OAB=90°
∴△DAB是直角三角形 ∴OA=OD=BD ∴OA=OB=OM=OD
∴A、B、M、D四点在以O为圆心的圆周上 ②过M作ME⊥x轴于E，MF⊥直线AB于F ∴∠DEM=∠MEA=∠MFB=90° ∴∠DME=∠BMF，且MD=MB ∴△MDE≌△MBF
∴MF=ME，DE=BF
∵∠MEA=∠MFB=90°，∠OAB=90° ∴四边形MEAF是正方形， ∴∠OAM=45° ∴∠ONA=45° ∴∠ONA=∠OAM
∴ON=OA；
（2）解：①当0＜x≤3时，设M（a，b），则ME=AE，OE=a，AE=ME=AF=2﹣a． ∵D（x，0）
∴OD=x，DE=BF=a﹣x，AD=2﹣x ∵C（0，1），A（2，0）， ∴AB=1，OA=2
∴AF=1+a﹣x，ON=2 ∴2﹣a=1+a﹣x ∴a=
，AE=ME=2﹣a=
S△MDN=S△ADN﹣S△MDN=∴y=
当x=时，S△MDN最大为
②当3＜x≤4时，过M作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，延长AB交MF于H，设M（a，b） ∴AD=x﹣2，DE=x﹣a，AE=a﹣2 ∴a﹣2=1+x﹣a ∴a=
S△MDN=∴y=
；
故当x=4时，S△MDN最大为
（3）解：当0＜x≤3时，显然不存在；当3＜x≤4时，假设存在，则MN=MD+DN， 而MN=
，MD=
2
222
，DN=x+4，
22
解得x=故存在D，D（
（x=舍去） ，0）．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了四点共圆的证明，等腰直角三角形的性质的运用，三角形全等的判定及运用，勾股定理的运用以及抛物线的最大值等多个知识点．
21．如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD． （1）若C（3，m），求m的值；
（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB； （3）经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，不变证明并求其值；若变化，请说明理由．
的值变吗？若
考点：一次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）作CE⊥x轴于E，可证△OAB≌△EBC，再根据线段相互间的关系即可求出CE的长，即m的值； （2）作GE⊥x轴于G，可以通过先求出AE与EB的关系，证明结论； （3）连接CT，ST，ST交BC于M，可知解答：解：（1）作CE⊥x轴于E，
的值为45°余弦的倒数，从而求解．
易证△OAB≌△EBC，
∴OB=OE﹣BE=3﹣OA=2， ∴CE=2，即m=2；
（2）作GE⊥x轴于G， ∵BE=BF， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∴EG=GB， AE=EB， ∴AC=AB， ∵AE+EB=AB，
∴AE=（2﹣）AB， ∴AC+AE=2AB；
（3）连接CT，ST，ST交BC于M， 则AS=TS，SC=SM，∠STA=45°， ∴AS﹣CS=MT， ∴
=
=
=
．
故的值不变．
点评：考查了一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和三角函数的知识，难度较大．
22．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）． （1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式； （2）求（1）中S的最大值；
（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．
考点：一次函数综合题。 分析：（1）首先根据题意求得A，B，C，D的坐标，然后过点C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性质，即可求得PQ的值，则可求得S与t之间的函数关系式； （2）配方，即可求得二次函数的最大值，即是S的最大值；
（3）当PQ过点（10，10）时，t最小；当N与（10，10）重合时，t最大，根据题意求解即可． 解答：解：（1）∵直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点， ∴A（18，0），B（0，18）， ∵直线y=2x与AB交于C点， ∴
，
解得：x=6，y=12， ∴点C（6，12），
∵直线y=2x与过点A且平行于y轴的直线交于D点， ∴D（18，36），
过点C作CH⊥AD，则CH=18﹣6=12， ∵PQ∥AD，
∴CH⊥PQ，△CPQ∽△CAD， ∴
，
∵PK=t，则CG=12﹣t， 即：
∴PQ=36﹣3t，
∴当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式为S=t（36﹣3t）=﹣3t+36t；
（2）∵S=﹣3t+36t=﹣3（t﹣6）+108， ∴当t=6时，S最大，最大值为108；
（3）当点Q的横坐标是10时， 则Q（10，20），E（10，0），P（10，8）， ∴PE=8，PQ=12， ∴PQ=36﹣3t=12， 解得：t=8；
当N的坐标为（10，10）时， 则点P的纵坐标为10，
2
2
2
，