《电路原理》学习指导及仿真实验手册
t1?i(t)??u(t)dtL??1?i(t)?i(0)???6e?2tdt?2.5?(1?e?2t)(A)1.2011（2） ??i1(t)???6e?2tdt?i1(0)??6e?2tdt?2.5?0.5e?2t(A)
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微软用户6??60tt?it)?11.5???6e?2tdt?i2t2(2(0)??3?6e?2dt??2e?2t(A)0且：i1(t)?i2(t)?2.5?(1?e?2t)?i(t);满足KCL定律第 31 页
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第七章 一阶电路与二阶电路的时域分析 —学习指导—
当电路中含有电容或电感元件时，这样的电路称为动态电路。动态电路的特征是：（1）当电路的结构或元件的参数发生变化时（称为换路），其工作状态的转变需要经历一个过渡时期；（2）由于动态元件的伏安特性关系是对时间变量t的微分或积分关系，因此，描述动态电路的方程是微分方程，且方程的阶数由电路中动态元件的个数决定。 学习本章应注重以下几个方面：
1、明确掌握动态元件的储能特性是理解动态电路的性质和弄清动态过程与稳态的区别的前提。明确动态电路换路时过渡过程产生的原因是由于储能元件换路时能量的存储和释放需要一定的时间来完成，表现在：（1）要满足电荷守恒，即换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变；（2）要满足磁链守恒，即换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。以上二条称为动态电路的换路定律。学习中要记住电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。换路定律反映了能量不能突变的事实，会根据换路定律确定电路各量的初始条件。
2、动态电路的分析涉及到初始条件、时间常数、零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应、冲击响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念。学习中要把注意力集中在深刻理解这些概念的物理含义上，了解其相互关系。 3、会用经典法分析一阶和二阶电路，其步骤为：（1）依据KCL和KVL及元件的伏安特性关系建立以时间为自变量的线性常微分方程；（2）确定电路中待求量的初始值；（3）确定方程的通解和特解，求得所求电压和电流。注意通解是与方程对应的齐次方程的解，而特解是与输入激励的变化规律有关的量。避免死记书中的公式。 4、对于一阶电路的响应可以归结为三要素公式：
f(t)?f(?)?f(0)?f(?)e????t?
把分析一阶电路问题转为求解电路的初值f（0+）、稳态值f（∞）及时间常数?的三个要素的问题。因此，电阻电路中介绍的各种分析方法可以应用于线性动态电路的时域分析。要会用这些方法确定三要素公式中的三个要素。弄清三要素公式与零输入响应、零状态响应、全响应的关系将有助于熟练地应用三要素法分析一阶电路。
5、要认识到二阶电路的响应随时间变化的规律与方程特征根的性质有关，而特征根的性质又决定于电路的结构和参数，因此学习中要注重掌握根据电路结构正确列写微分方程的方法。明确二阶电路在过渡期存在非振荡放电、振荡放电和临界三种状态，重点要弄清三种状态的物理过程，三种状态取决于什么条件，与初始值的关系，如何计算等问题。
6、动态电路的阶跃响应是指激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应，学习中要弄清单位阶跃函数的定义和特征，特别要注意当激励为复杂函数时，可以借助于单位阶跃函数来表示，然后结合线性电路的齐次性和叠加性可以方便地求得一阶电路对复杂激励的响应。
7、动态电路的冲击响应是指激励为单位冲击函数时电路中产生的零状态响应，注意电路中的冲击激励往往使电容电压和电感电流初值发生跃变，因此动态过程可以分为两段，第一阶段为冲击作用时，电容相当于短路，电感相当于开路。利用这个等效电路确定电容电压和电感电流初值；第二阶段为零输入的动态过程；由于线性电路中单位阶跃响应s（t）与单位冲击响应h（t）之间满足关系：h(t)?来求得冲击响应。
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ds(t)，会应用这一关系通过一阶电路的单位阶跃响应dt《电路原理》学习指导及仿真实验手册
重要经典提示：
1、一阶电路的零输入响应
零输入响应是指电路无外加激励，仅由储能元件的初始值引起的响应。一阶电路的零输入响应是满足初始条件的齐次常微分方程的解。若y（t）表示电路中的电压或电流，则零输入响应的一般形式为： y(t)?y(0)e?pt?y(0)e??t?。其中，p为齐次微分方程的特征根，
?为电路的时间常数，两者关系为???1p。
备注：时间常数?反映了过渡过程的快慢，工程上认为经过3?~5?时间后过渡过程结束。时间常数?只与电路的结构和参数有关，当电路为含电容电路时，??RiC；电路为含电感电路时，??LRi。Ri是电路中独立源置零后从储能元件两端看入的等效电阻。
2、一阶电路的零状态响应
零状态响应是指在零初始条件下，由外加激励在电路中引起的响应。描述一阶电路零状态响应的数学模型是一阶非齐次常微分方程，设y(t)表示电路中的电压或电流，则微分方程的
?dy(t)?ky(t)?fs(t)。其解的形式为：y(t)?y(?)?Ae? 一般形式为：
dt?tt其中，y(?)是微分方程的特解，电路中称为响应的强制分量；Ae?是齐次常微分方程的
通解，电路中称为自由分量，A为由出始值确定的常数。当激励为直流或正弦时间函数时，强制分量也称为稳定分量，相应的自由分量称为暂态分量。 3、一阶电路的全响应
全响应为非零初始状态的电路受到外加激励时所引起的响应，描述其电路特征的方程是非齐次常微分方程。全响应有两种分解方法，（1）全响应=强制分量+自由分量；这种分解方法是经典法求解非齐次常微分方程的直接结果。（2）全相应=零输入响应+零状态响应；这种分解方法是线性电路应用叠加定理的必然结果。上述表明，可以利用全相应的两种分解方法求取电路的全相应。 4、三要素法
三要素法是从求解一阶电路经典法中提炼出来的一种简便方法。求解一阶电路的三要素公式为：y(t)?y(?)?[y(0)?y(?)|t?0?]e的初始值，?为时间常数。
确定了三要素y(?)、y(0)和?，响应也就确定了，避免了列写微分方程和求解微分方程的过程。三要素法可方便地求解恒定激励、正弦激励和周期性激励等作用时一阶电路的过渡过程。
5、一阶电路的冲激响应
电路在单位函数?(t)激励下所产生的零状态响应称为冲激响应。单位冲激函数?(t)的定义
???t?。其中，y(?)为电路的稳态解，y(0)为电路
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??(t)?0,t?0?为：?
???(t)?t单位冲激函数?(t)与单位阶跃函数之间与之间的关系为：
????(?)d???(t)或?(t)?d?(t)。 dt时域中分析冲激响应常用以下两种方法：
（1）分成两个时间段求解：t在0-到0+时间段，冲激电源作用使电容或电感瞬间存储能量，电容电压或电感电流初始值发生跃变。t＞0后，冲激电源为零（?(t)=0），但uc(0?)或iL(0?)+
不为零，电路为零输入响应，
（2）利用单位阶跃响应与单位冲激响应的关系求解：线性电路的单位冲激响应h(t)和单位
ds(t)阶跃响应s(t)之间的关系为，h(t)?或s(t)??h(?)d?。
dt0?用此法求冲激响应时，阶跃响应的表达式应写为含有?(t)的形式。并注意?(t)的定义，不能写错。
6、二阶电路的零输入响应
描述二阶电路零输入响应的是二阶齐次常微分方程，它的解有三种类型，取决于特征根的不同性质。
（1）特征根p1,p2为两个不相等的负实根，响应形式为：y(t)?A1e况称为过阻尼，响应是非振荡性质。
（2）特征根p1,p2为两个相等的负实根，响应形式为：y(t)?A1e称为临界阻尼，响应是非振荡性质。
（3）特征根p1,p2为一对共轭复根p1,2????j?，响应形式为：
p1tp1tt?A2ep2t。这种情
?A2tep2t。这种情况
y(t)?Ae??tsin(?t??)。这种情况称为欠阻尼，响应是振荡性质。
当??0时，为无阻尼情况，此时响应为不衰减的正弦波y(t)?Asin(?t??)。
上述三种情况中两个常数A1，A2或A，θ为待定常数，由初始值确定。 求解二阶电路零输入响应的主要步骤如下： （1） 选择合适变量列写电路的微分方程； （2） 求特征根，确定响应类型； （3） 又初始值确定积分常数。（一般由待求量的出始值和待求量一阶导数的出始值来确
定）
7、二阶电路的零状态响应和全响应
描述二阶电路零状态响应或全响应的是二阶非齐次常微分方程，它的解由特解和对应齐次常微分方程的通解组成。y(t)?y?(t)?y??(t)。显然，二阶电路零状态响应或全响应的性质也
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只取决于特征根而与激励无关，求解方法与零输入响应方法相同，只需多求一个特解。 8、二阶电路的冲激响应
二阶电路冲激响应的求解方法和一阶电路类似，时域中常用两种方法。（1）分成两个时间段；（2）利用单位阶跃响应与单位冲激响应的关系求冲激响应。 典型例题示范：
1、电路如图a所示。求开关S闭合后图中所示各支路电流的初始值。 解：设开关S在t=0时刻闭合。 则有S闭合前电路状态为：
i i1 20Ω S i(0)?0??i(0)?01??? ?i2(0?)?0?i(0)?i(0)?1(A)3??L???uC(0?)?10?1?10(V)?+ 45V - 10Ω 10Ω i3 5Ω 50μF i2 10Ω iL 1A + uC 0.1H - 而当S闭合的瞬间有：
?uc(0?)?uc(0?)?10(V) ?i(0)?i(0)?1(A)L??L?所以在开关闭合瞬间t=0+电路可用图b表示。 对于图b可用多种分析法求出
i 电路的状态：
+ ?i1(0?)?0?i(0)?i(0)45V ??2??- ?i3(0?)?i2(0?)?1??15?i2(0?)?10?i3(0?)?35解上述联立方程组得到题目所求：
5Ω （a） i1 20Ω 10Ω 1A 1A i2 + 10v - 10Ω i3 10Ω ?i(0?)?i2(0?)?1A??i3(0?)?2A?i(0)?0??12、电路如图a所示，换路前
处于稳定状态。t=0时打开开关S。求换路后电感电流iL(t)和电阻上的电压uR(t)的零输入响应。
解：换路前稳定状态时有：
60Ω 2Ω iL（t） 0.5H （b；t=0+） S 50V - + + uR（t） - 3Ω 1000μF （a） + - 6Ω uC 微软用户 第 35 页 2013-4-4