《电路原理》学习指导及仿真实验手册
50?6.25(A) 2?6uR(0?)?uC(0?)?6?iL(0?)?37.5(V)iL(0?)?换路后，原电路分成两个独立的电路b。分别做零输入能量释放。
（1）电感中的电流满足下述关系：
iL（t） 60Ω 0.5H 3Ω 1000μF （b） + - 6Ω uC 0.5?+ uR（t） - diL(t)?60?iL(t)?0 dt该一阶常系数齐次微分方程的解是：
iL(t)?Aept
其中：
A?iL(0?)?iL(0?)?6.25p满足0.5p?60?0解得p??120 故所求电感中的电流为：iL(t)?6.25e?120t
??uR(t)??iC(t)?6?（2）电阻（6欧姆）两端的电压满足下述关系：?(3?6)?iC(t)?uC(t)?0
?du(t)?iC(t)?C?cdt?uC(t)?uC(0?)ept?37.5e?3?t9?10?31000t9?1000t9解方程组得：
??1??uR(t)??6?37.5?10??e?3??9?10?
?25e备注：该题可直接套用零输入响应公式来解。 3、求图a所示电路中uC(t)和i1(t)的零状态响应。
i1 1Ω 1Ω + 2ε（t） - + 0.8μF 2i1 - （a）
解：(1)先求uC(t)：观察电路a，可见对电容来说（t＞0），利用戴维南定理电路b等效电路
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1Ω + uC - 1.25Ω + 1.5v - （b） + uC - 《电路原理》学习指导及仿真实验手册
a。（解过程略）
则由图b，根据KVL定律有：1.25?C?duC(t)?uC(t)?1.5。 dt该一阶微分方程的解为：uC(t)?1.5?1.5e?tV(t?0) （2）再求i1(t)：观察电路a，可见外回路列写KVL有：
1?i1(t)?1?0.8?duC(t)?uC(t)?2??(t)?0 dtduC(t)?uC(t)?2??(t)?0.5?0.3e?t(A;t?0) dt将uC(t)代入得：i1(t)??1?0.8?4、电路如图a所示。在t=0时开关S由1合向2。（1）当uS(t)?10V时，求iL(t)，并画出其变化曲线。（2）当uS(t)?30V时，再求iL(t)。 解：（1）前确定电路的初始状态：
iL(0?)?20?2(mA) 1010KΩ S 1 + 20v - 2 - uS + （a） 5KΩ 10KΩ 0.5H iL （2）分析换路后（t≥0）后电路变为图b。 对图b可知，电感左侧的电路用戴维南定理可将图b用图c等效。
10KΩ S 2 - uS + （b）
由图c可得：5?10?iL(t)?0.5?310KΩ 0.5H iL - 0.5uS + （c） 0.5H iL diL(t)?0.5?uS(t)?0（根据KVL定律） dt题中给定的uS(t)是直流量，即常量。则该常系数一阶微分方程的解为：
iL(t)?iL(?)?[iL(0?)?iL(?)]e? （三要素法）
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其中：时间常数??LR?0.53?10?4(s)；初始值iL(0?)?iL(0?)?2mA； 5?10i(t)有关：i0.5uSL(?)的值与uSL(?)??5?103 所以有：
uS?10V,iL(?)??1mAuS?30V,iL(?)??3mA
所求为：???i(t)??1?3e?104tL;[t?0,uS?10V]??i?104t
L(t)??3?5e;[t?0,uS?30V]波形图如图。
第八章 相量法 —学习指导—
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同频率正弦电源激励下的线性稳态电路，具有所有响应与激励源同频率的特点，因此，求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运算，从而大大简化了正弦稳态响应的数学运算。 学习本章应注意以下几个方面：
1、首先要弄清正弦量的最大值、有效值、周期、频率、角频率、出相位、相位差、超前、滞后、同相、反相、正交、计时起点等术语的含义及相互关系，能正确地用三角函数式和波形图来表示正弦量。
2、明确相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须熟悉掌握复数的四种表示形式和它们之间的相互转换，以及它们在复平面上的几何意义。特别要要弄清一个复数乘以（或除以）旋转因子ej?,?j,?1后在复平面上的几何意义。
3、明确相量法实质上是一种变换，它通过相量把时域里求微分方程正弦稳态解的问题，“变换”为在频域里解复数代数方程的问题。因此，学习中必须弄清什么是相量、相量和正弦量之间的对应关系，能熟练地把正弦量用相量表示，理解正弦量的加、减、求导、积分可以变换为相量的加、减、乘以j?和除以j?的运算。
4、掌握KCL、KVL的相量表示，注意区分电压、电流的相量之和与有效值之和的不同。掌握R、L、C 元件伏安关系式的相量形式，注意元件上电压相量与电流相量之间的关系，弄清感抗XL和容抗XC的物理意义，它们与频率的关系。会画电路的相量模型以及相量图。 重要经典提示：
1、正弦量的相量表示
一个正弦量，如一个正弦形式的电流：i(t)?Imsin(?t??i)?2Isin(?t??i)。可以由幅值Im（或有效值I）、角频率?和初相角?i唯一确定。又根据数学理论，这样一个正弦量可以与一个复变函数建立起一一对应关系，即：
i(t)?Imsin(?t??i)?2Isin(?t??i)?Imej?tej?i?Imej?i?Im??i i(t)?Imsin(?t??i)?2Isin(?t??i)?2Iej?tej?i?Iej?i?I??i
上述两式分别将一个正弦函数形式的电流与一个最大值电流相量和有效值电流相量建立起一一对应关系。
类似可将一个正弦函数形式的电压与一个最大值电压相量和有效值电压相量建立起一一对应关系：
u(t)?Umsin(?t??u)?2Usin(?t??u)?Umej?tej?u?Umej?i?Um??u u(t)?Umsin(?t??u)?2Usin(?t??u)?2Uej?tej?u?Uej?i?U??u
注意：还可以将一个余弦函数形式的电压或电流与一个最大值电压或电流相量和有效值电压或电流相量建立起一一对应的关系。一一对应是“对应”而决不是“相等”；仅仅是为解决问题方便而换了一个分析平台，即时间域平台（微分方程求解）换成频域平台（复数运算求解）。
2、正弦稳态电路的相量模型 （1）电路元件：
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I ?R IL L ?IL C ?+ ?UR??- + ?UL ??- + ?U ?- UR?RIR UL?j?LIL j?UC??IC ?C
对一般无源二端元件Z，当电流相量与电压相量的参考方向取为关联方向时其该二端无源元件用相量来表示的伏安特性为：UZ?ZIZ（该式称为相量形式的欧姆定律） （2）基尔霍夫两个定律的相量形式：
KCL：
?????I?0 KVL：?U?0
（3）电路的相量模型：
将线性时不变正弦稳态电路中各电路元件的时域模型均变为相应的相量模型，各元件的连接关系不变，便得到了电路的频域相量模型。描述相量模型中电压、电流关系的方程是复数线性代数方程。这种在频域分析正弦稳态电路的方法称为相量法。 （4）相量图：
在复平面上用有向线段表示相量的图形称为相量图。有向线段的长度为相量的模；有向线段与实轴的夹角为相量的幅角，且规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。利用相量图有时可以简化电路分析。 典型例题示范：
1、求对应于以下各式的相量电压和电流：
(1):u?2(50)sin(377t?350)V;(2):i?2(90.4)sin(754t?480)mA(3):u?83.6cos(400t?15)V;(4):i?3.46cos(815t?30)A00
解：一般若不特别注明，电压、电流的相量形式均以有效值表示其相量的幅值。 所以有解：
(1):u?2(50)sin(377t?35)V?U?50??350V(2):i?2(90.4)sin(754t?48)mA?I?90.4?480mA(3):u?83.6cos(400t?150)V?59.12sin(400t?150?900)?U?59.1?750V(4):i?3.46cos(815t?30)A?2.452sin(815t?30?90)?I?2.45?1200A2、求对应于以下相量的电压和电流（正弦波角频率为377rad/s）。
000??0?0?
(1):U?20?35V;(2):I?10.2??410mA(3):U?(4?j6)V;(4):I?(?3?j1)A解：
???0?
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