??vx??vy??vz??Mvx???Mvy???Mvz?∴ ????????y??VB????z??VB???x?y?z?x?VB?地上??地上??地上?∵
M?????M???C(const) ??????t?t?V地上B?V地上??vx??vy??vz??? ?????x?y?z?t ∵
?vx?vy?v??可写为: C()?C()?C(z)??C()
?xB?yB?zB?tB证得
?vx?vy?vz??()?()?(?)?( )?xB?yB?zB?tB第三章 刚性水压驱动下的油井干扰理论
【3-1】平面无穷地层上有一源一汇，相距2?，强度为q，试用分析法证明地层任一点处的渗流速度的绝对值为v?q?/(?rr12)。
【证】由势的叠加原理，储层中任一点M的势为
r1qqqq(x??)2?y2?M?lnr1?lnr1?C?ln?C?ln?C
2?2?2?r24?(x??)2?y2vMx????Mq?2(x??)2(x??)?q?x??x?????????2?2? ?2222??x4??(x??)?y(x??)?y?2??r1r2?q2??yy? ??22?rr?12?同理 vMy??又 ∵ v?vivMx?My j∴ v?vMx2?vMy2?q2??x??x????yy?????q?/(?r1r2) ?2?22?2?rrrr?12??12?22【3-2】求液体质点沿上题的源汇连线的运动规律，即时间与距离的关系。
【解】x轴上流体质点的运动速度为
vM?q2?1??1 ???x?ax?a??∵ 真实渗流速度vt?vM??dx dt11
∴
dxq?11?qa ???????dt2???x?ax?a???x2?a2分离变量
?x?a(x2?a2)dx??dt ???0qatx32qa积分后 ?a2x?a3??t
33??则时间与距离的关系为 t?3??(2a3?a2x?x)3qa
【3-3】在A2井投产前，A1井已经投产，两口井间距离2??100m，A1井的
pw1?4MPa，两井之半径rw1?rw2?7.5cm，re?15Km，pe?6MPa，求A2的pw2为多少时A1井停止生产？
【解】根据井间干扰现象可知，当A2井单独工作时，A2井在A1井处的压力为A1井的井底压力，则A1井停止生产，由于re井处的压降为
rw，可将A2视为在地层中心，A2井在A1?p?rQ2?lne?pe?pw1 2?Kh2?A2的产量为 Q2?2?Kh(pe?pw2) re?lnrw(pe?pw2)rlne r2?lnerw将Q2带入上式有 ?p?解得
3re15?10lnlnrw0.075?1.13MPa ?6?(6?4)?pe?(pe?pw1)re15?103lnln2?100pw2【3-4】某产油层有re?10Km的圆形供给边线，距地层中心d?2Km处钻了一口生产井，rw?10cm，h?5m，K?0.5?m2，pe?25MPa，pw?23MPa，??2mPa?s，求油井产量；假设油井位于地层中心，其余参数不变，产量为多少？
【解】本题可看作为求一口偏心井的产量 偏心井的产量公式
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2?Kh(pe?pw)2??0.5?10?12?5?(25?23)?1063Q???118.3m/d 22310?10??2??re??d???32?10?ln?1?????ln?1????0.1rw??re?????10?????由丘比（Dupuit）公式知
Q?2?Kh(pe?pw)?117.5m3/d r?lnerw【3-5】某井距直线供给边线的距离a?1Km，h?8m，k?0.3?m2，??4mPa?s，
rw?0.1m，?p?2MPa，求：
(1)油井产量；
(2)若井位于re?1Km的圆形供给边线中心，其余参数不变，油井产量等于多少？ 【解】(1)该题是属于距直线供给边界为a的地方有一口生产井的生产问题
?122?Kh(pe?pw)2??0.?310??8?26103由公式 Q?qh???65.78m /d32a2?10?ln4?10?3lnrw0.1(2) 由丘比（Dupuit）公式
2?Kh(pe?pw)2??0.3?10?12?8?2?106Q???70.69m3/d
r10004?10?3ln?lne0.1rw【3-6】两不渗透断层，交角为30，在它们的分角线上有一口生产井距离顶点为
r，假设离断层交点为re 处，有一圆形供给边界，且re??r，如何求这口井的产量？
【解】根据镜像反应原理，该问题可以看作是无穷大地层中等强度的12口生产井和12口注水井同时工作的问题，因此由势的叠加原理有
?M?rr...rqln1212?C ① 2?r13r1...4r24由于re??r，可将12口注水井忽略，则有
qlnr1r2...r12?C ② 2?将M点放到生产井的井壁上
perre?M?
K?pw?qlnr1r'2'r.1.?.C' 22??图3.27 30°交角井位图
q22ln?rw?2rsin15???2rsin30??...?2rsin90????C
?2??q?ln(12rwr11)?C ③ 2?13
将M点放到供给边界上
K?pe?qlnr1r''2'r'1..?.C ' ' 22?由于re??r，每一口井到供给边界上一点的距离都可看为re，上式可化简为
Kpe?qln(re12)?C ④ 2??re12q④?③有 (pe?pw)? ln?2?12rwr11KQ?qh?2?Kh(pe?pw)2?Kh(pe?pw)? 12r?rr??lne11??12lne?ln?12rwrr12rw??【3-7】设半圆形供给边线的直径为不渗透边界，在通过供给边线的中心且与不渗透边线垂直的垂线上有一口井半径为rw、井底压力为pw的生产井，该井到不渗透边界的距离为d，供给半径为re，供给压力为pe，地层渗透率为K，有效厚度为h，流体粘度?，求油井的产量公式。
【解】根据镜像原理，可看为等强度两源两汇同时工作问题，如图3.28所示根据势的叠加原理，任一点M的势为
?M?rrqln12?C 2?r3r4确定生产井1与注水井井3的距离2a，圆形供给边界是一条等压线
r1Ar1B ?r3Ar3Bre?dre?d ?2a?re?d2a?re?d图 3.28
解得 2a?re?d d22re2re2井的坐标分别为(0，d)，(0，?d)，(0，)，(0，?)
dd将M点放到生产井1的井壁上有r1?rw，r2?2d，r3?2a，r4?2a?2d
Kpw?rw(2d)qln?C ① 2?2a(2a?2d)14
?
将M点放到A点上有 r1?re?d，r2?re?d，r3?2a?re?d，r4?2a?re?d
K?②?①有
pe?(re?d)(re?d)qln?C ② 2?(2a?re?d)(2a?re?d)K(re?d)(re?d)?2a?(2a?2d)qq(re2?d2)2(re2?d2) ?ln4?p?pw??ln?e2?(2a?re?d)(2a?re?d)rw(2d)2?(re?re2d2)rw?2d油井的产量为
Q?qh?2?Kh(pe?pw)
(re2?d2)2(re2?d2)?ln422(re?red)rw?2d【3-8】设平面均质等厚无穷地层中有两个相距2a强度均为q的汇点，试求两汇连线上液体质点的运动规律。
【解】根据势的叠加原理
qq?M?lnr1r2?C?ln(x?a)2?y2(x?a)2?y2 2?2?x轴上有4条流线，从原点流向两汇点的两条，从正负无限远流到点汇的两条，如图3.29所示。在地层中任意一点M处的渗流速度vM在x轴上的两个分量分别为：
vMx????Mq?2(x?a)2(x?a)? ????2222??x4??(x?a)?y(x?a)?y????Mq?2y2y ????2222??x4??(x?a)?y(x?a)?y?0vMy??而 vM?vMx?ivMy j特别是当质点M在两汇连线上运动时有
y?0，则
图 3.29 液体质点运动规律
vMx????Mq?11? ?????x2??x?ax?a??又
dxvMx? dt?液体质点在两汇连线上运动为
vx?dxq?11?qx ??????22?dt2???x?ax?a??(x?a)??【3-9】试证明平面无穷大地层上一源一汇和两汇的解满足拉普拉斯方程。
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