【证明】(1) 无穷大地层中一源一汇问题
如图3.30所示，生产井的强度为q1，注水井的强度为q2，两井之间的距离为2a，以两井连线为x轴，以两井连线的垂直平分线为y轴。 由势的叠加原理有，地层中任一点M处的势为 qq?M?1lnr1?2lnr2?C
2?2?qq?1ln[(x?a)2?y2]?2ln[(x?a)2?y2]?C4?4???Mqq2(x?a)(x?a) ?1??x2?(x?a)2?y22?(x?a)2?y2?2?Mq1y2?(x?a)2q2y2?(x?a)2?? 2222222?x2??(x?a)?y?2??(x?a)?y???????Mqq2yy?1? ?y2?(x?a)2?y22?(x?a)2?y2图 3.30
?2?Mq1(x?a)2?y2q2(x?a)2?y2?? 2222222?y2??(x?a)?y?2??(x?a)?y??????2pM?2pM??0 即一源一汇的解满足拉普拉斯方程 22?x?y(2)无穷大地层中两汇问题
如图3.31所示，生产井的强度为q1，注水井的强度为q2，两井之间的距离为2a，以两井连线为x轴，以两井连线的垂直平分线为y轴。 由势的叠加原理有，地层中任一点M处的势为
qq?M?1lnr1?2lnr2?C
2?2?qq?1ln[(x?a)2?y2]?2ln[(x?a)2?y2]?C4?4???Mqq2(x?a)(x?a)?1? 2222?x2?(x?a)?y2?(x?a)?y?2?Mq1y2?(x?a)2q2y2?(x?a)2???x22??(x?a)2?y2?22??(x?a)2?y2?2??????Mqq2yy?1? 2222?y2?(x?a)?y2?(x?a)?y图 3.31
?2?Mq1(x?a)2?y2q2(x?a)2?y2?? ?y22??(x?a)2?y2?22??(x?a)2?y2?2????16
?2pM?2pM??0 即一源一汇的解满足拉普拉斯方程 22?x?y【3-10】圆形供给边线中心有一口注水井，距中心d?200m处有一口生产井，设供给边线的半径为re?1Km，供给压力为pe?20MPa，注水井的注水量与生产井的产量相等，井底半径为rw?0.1m，K?0.4?m2，流体粘度??2mPa?s，地层厚度h?4m，若生产井的产量Q?30m3/d，试求：(1) 两井的井底压力各为多少？(2) 写出该地层内的压力分布公式。
【解】(1)根据镜像原理，本题可看作是一源两汇同时工作问题，如图3.32所示
由势的叠加原理有：
?M?K?pM?rqln1?C 2?r2r3图 3.32 偏心井井位图
利用镜像原理求出注水井和生产井的距离2a，供给边界圆是等压线
re2?d2r1Ar1B?4800m 解得 2a??dr2Ar1B将M点放到生产井的井壁上
K?pw1?rqlnw?C ① 2?d?2a将M点放到供给边界中心注水井的井壁上
K?pw2?qdln?C ② 2?rw?(2a?d)将M点放到生产井与注水井连线与供给边界的交点处有
K?联立①和③解得
pe?(re?d)qln?C ③ 2?re?(2a?re?d)pw1?pe?(re?d)?d?2aq? ln2?Kre?(2a?re?d)rw30?2?10?3800?200?4800?20?ln ?123600?24?4???0.4?101000?4000?0.1?20?1.045?18.955MPa
联立②和③解得
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pw2?pe?(r?d)?rw?(2a?d)q? lne2?Kre?(2a?re?d)?d30?2?10?3800?0.1?5000?20?ln ?123600?24?4???0.4?101000?4000?200?20?0.732?20.732MPa
(2) 根据势的叠加原理有
?M?压力分布为
pM(x,y)K?pM?rqln1?C 2?r2r3(x?200)2?y2q?C??ln?
22222?KKx?y?(x?5000)?y?0.069ln(x?200)2?y2x?y?(x?5000)?y2222?20.59
第四章 微可压缩液体的不稳定渗流
【4-1】设均质等厚无限大地层中有一口注入井生产，试推到地层中的压力分布
公式。
【解】平面径向流基本微分方程：
??2p1?p1?p??2??rr?r??t??p(r,0)?pi(0?r???) ??p(?,t)?pi?2?Kh?p(r))?常数?Q?lim(?r?0??r???pdp???dp.????2td???td??t?r1dp??pdp?? 设：??，则：?? .?2?t??rd??r2?td???2p1d2p?2?4?td?2???rd2p1dp?0 代入上式得：2?(?2?)d??d?解常微分方程得：令U=
dpdU1?(?2?)U?0 并代入方程有：
d?d??18
分离变量积分得：lnU??ln???2?lnC1整理得：U?C1e??2?
dpdpe??将U=代入上式： ?C1d?d??根据内边界条件：
2Q?lim(?r?02?Kh?(r?p2?Kh?p12?Kh?p))?lim(?(r?))?lim(?(?))
r?0??0?r???2?t???2?p?Qdpe??)??即：lim(?，对两边同时乘以?后取??0的极限得： ?C1??0??2?Khd??C1=?2?Q 2?kh??dpe将常数C1代入中，并将其分离变量积分，?从???，p从?C1d???Q?e??p(r,t)?pi，于是：pi?p(r,t)??d?
2?Kh???令x??,则??x,d??2212xdx，且当?从r22?t2 ??,p从p?(r,t)?pi,于是：?Q?e?xp(r,t)?pi?dx r?4?Kh4?tx令
??r22?tr2e?x) dx=?Ei(?4?tx?Qr2因此可得：pi?p(r,t)?Ei(?)
4?Kh4?t【4-2】试证明运用迭加原理得到的无穷大弹性地层n口井同时生产时的解
?(x?xi)2?(y?yi)2??n?p???QiEi????满足热传导方程。
4?Khi?14?(t?ti)??【证明】
??ri2??n?ne?x写成极坐标化简得：?p???QiEi???Qi?rdx，????4?Khi?14??tx?4??ti?4?Khi?1i2i?pi对t求一阶偏导数以及对r求一阶偏导和二阶偏导数：
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??pi?Qieri?Qi??(?)?e22ri?t4?Kh4??t4??ti4?Khi?ri24??ti2?ri24??ti?(?1) ?ti??pi?Qie2ri?Qi???eri2?ri4?Kh4?4??t4?Khi?ti?ri24??ti?ri24??ti2? ri??pi?Qi?e2?ri4?Kh2?ri24??ti(?12?2) ??tir?ri??2?p?Q12i?2i?e4??ti(??2)4?Kh??tir??r代入热传导方程得：?i
2???pi1??pi1??pi??r2?r?r???riii?i2化简为：(?1221 ?2)?2????tirri??ti同理n口井同样成立，即证。
【4-3】上机计算：（1）误差函数erf(x)，其中x从0.01到3，步长为0.01；（2）指数积分函数?Ei??x?，x从0.01到5，步长为0.01。
【解】表4.1是误差函数部分数值上机计算结果，表4.2是指数积分函数部分数值上机计算结果。
表4.1 误差函数上机计算结果
x 0.01 0.02 0.03 0.04 erf(x) 0.0112834 0.0225646 0.0338412 0.0451111 x 0.05 0.10 0.50 1.00 erf(x) 0.056372 0.1124629 0.5204999 0.8427008 x 1.50 2.00 2.50 3.00 erf(x) 0.9661051 0.995322 0.999593 0.999978 表4.2 指数积分函数上机计算结果
x 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -Ei(-x) 4.03793 3.35471 2.95912 2.68126 2.4679 x 0.10 0.50 1.00 1.50 2.00 -Ei(-x) 1.822923755 0.559773595 0.219383934 0.100019583 0.0489005 x 2.50 3.00 3.50 4.00 5.00 -Ei(-x) 0.024915 0.0130484 0.00697 0.003779 0.0011483 【4-4】设地层是线性半无限大的，出口产量为常数Q0，导压系数?=1.5m2/s求：
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