第二章 群 论 20
第二章 群论
本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．
§1 群的定义及基本性质
2.1 半群的定义
设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素a,b关于“·”运算结果a?b简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是
指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．
定义1 如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即
?a,b,c?S,有(ab)c?a(bc)，则称S关于它的乘法是一个半群，简称S是一个半群．
例1 偶数集2Z关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一个半群．
例2 数域F上的所有n?n矩阵作成的集合Mn(F)，关于矩阵乘法是一个半群．
例3 A是一个非空集合，A的幂集P（A）?{x|x?A} 关于∩、∪分别是半群．
例4 Z?（正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是Z?的一个代数运算；Z虽然关于数的减法是Z的代数运算，但结合律不成立，故(Z,?)不是一个半群．
注 由于一个半群(S,?)的乘法适合结合律，故可以在半群(S,?)中
n个???n可以引进一个元素a的正整数次幂的概念，规定：a?aa?a,
那么，易见半群里有以下指数运算规律：
am?an?am?n,(an)m?anm,(ab)n?an?bn,当ab?ba，这里m,n?Z?。
2.2 幺半群的定义
定义2 在半群(S,?)中，若S有一个元素e，?a?S，有ea?a，则·）中，若S有一个元素e，?a?S，有e叫做S的左单位元．在半群（S，
ae?a，则e叫做S的右单位元．若e是S的左单位元又是S的右单位元，即有?a?S，有ea?ae?a，则e叫做S的单位元．
例5 整数集Z关于数的普通乘法是一个半群，有单位元1；整数集Z关于数的普通加法是一个半群，有单位元0.
例11 设S表示平面上所有点的集合，?a,b?S，规定a?b表示线段a,b的中点，问\?\是不是S的一个代数运算？(S,?)是不是一个半群？
解：(1)“?”是代数运算，因为对S任意两点a1?(x1,y1)，
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a2?(x2,y2)，其中点(x1?x2y1?y2,)是唯一确定的S的点． 22(2)对(S,?)的三个元素(1，0)，(0，1)，(0，0)来说
1111[(1,0)?(0,1)]?(0,0)?(,)?(0,0)?(,)
2244111且 (1,0)?[(0,1);(0,0)]?(1,0)?(0,)?(,)
224从而(S,?)不是半群．
注 一个半群不一定有左单位元或有右单位元，例1中(2Z,?)便无左单位元，也无右单位元，从而无单位元；例2中n阶单位矩阵E是Mn(F)的单位元。例3中(P(A),?)的单位元是A，(P(A),?)的单位元是
?。
??a1例6 设S??????0?a2?并且?|a?Q?,关于矩阵的普通乘法是一个半群，i?0???10??10??a1a2??a1a2?有左单位元??00??，因为??00????00??=??00??，容易看出一切
?????????1x???00??都是S的左单位元，这说明半群的左单位元不一定是惟一的。 ??此外，当a2?0时，有???a1a2??10??a10?????=????????00??00??00??a1a2??10????，故?00??00??????不是S的右单位元，这说明半群的左单位元不一定是右单位元．类似
地可以说明半群的右单位元不一定是左单位元．
但是，我们有下列事实。 定理1 在一个半群（S，·）中，若e是S的左单位元，e?是S的右单位元，则必有e?e?,即说e是S的单位元．
证明 由左、右单位元的定义知，知e??ee??e，则e是S的单位元． 由此易得
定理2 若半群（S，·）有单位元，则必唯一． 定义3 称有单位元的半群为幺半群．
注意：在一个幺半群，也可以引进元素的零次幂的概念，即规定
a0?e.
例7 （Z，+），（Z，·），（Mn(F)，·），（P(A)，∩），（P(A)，∪）都是幺半群．
2.3 群的定义
现在来研究群，Galois于1829年引入置换群．C. Sordan于1867年引入运动群；随后A. Cagley于1854年及1878、W. Van. Dyek于1882年分别给出群的概念．下面首先给出群的四个定义．
我们先讨论元素的逆元问题。 定义4 设（S，·）是一个有单位元e的半群，a?S，若在S中存在有a?，使a?a?e，则a?叫做a的左逆元，并称a左可逆；若在S中存在有a?，使aa??e，则a?叫做a的右逆元，并称a右可逆；若a?既是a的左逆元，又是a的右逆元，即a?a?aa??e，则a?叫做a的一个逆元．并称a可逆。
当然由逆元定义知，如果a?是a的逆元，则a是a?的逆元。 例8 （Z，·）是单位元为1的半群，1，－1都是各自逆元，其它数无逆元．
例9 设N是自然数集，用T(N)表示N的全体变换作成的集合，则
T(N)关于映射的合成是一个幺半群，其单位元为恒等变换IN，设
?:n?n?1,?n?N，?:0?0,n?n?1,当n?N且n?1，易知?,?都是N
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上的变换，且???IN但???IN，即?是?的左逆元但不是右逆元。
??(x)??(?(x)) （?x?M）
也是Ｍ的一个变换，故???T(M)。我们称其为变换的乘法。它是T(M)的一个代数运算。
这说明左逆元不一定是右逆元，可以在幺半群T(N)中举例说明右逆元不一定是左逆元．但我们有下列定理。
定理 3 设（S，·）是一个有单位元e的半群，a?S，若a有左逆元b，a有右逆元c，则必b?c．即说b必是a的逆元．
证明：由于ba?e?ac，那么
b?be?b(ac)?(ba)c?ec?c.
由此可得
定理 4 设（S，·）是一个有单位元的半群，a有逆元，则逆元唯一．
注 把元素a的惟一逆元记为a?1，即a?a?1?a?1?a?a，并且有
(a?1)?1?a，这样对S中的可逆元引负正整方幂的概念，即规定：
a?nn个??????1?1?aa?a?1,其中n是正整数．
例10 Q*?Q?{0}．即所有非零有理数作成的集合，代数运算?为数的普通乘法，易知(Q*，? )是一个半群，1是它的单位元，每一个元
nm都有逆元． mn定义5 称每个元都有逆元的幺半群为群。
说得详细一点，也可以写成 如果代数结构（G，·）满足以下条件：