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（2）设置换?可表为m个对换?1,?2,?,?m之积，即?=?1?2??m。?将排列12?n变成排列?(1)?(2)??(n)，则由?=?1?2??m知，连续对排列12?n施用对换?1,?2,?,?m可得排列?(1)?(2)??(n)；此外，由高等代数关于排列的结论知，每施行一次对换都改变排列的奇偶性，而12?n是偶排列，故m与排列?(1)?(2)??(n)的奇偶性相同，但不论
?表示成多少个对换之积，排列?(1)?(2)??(n)的奇偶性是完全确定
的，因此对换个数m的奇偶性不变。
定义 一个置换若表示成奇数个对换的乘积时，成为奇置换；否则称为偶置换。
由定理5知，?是奇（偶）置换当且仅当排列?(1)?(2)??(n)是奇（偶）排列，即其逆序数是奇（偶）数。
定理 6 Sn中所有偶置换作成Sn的子群（称此群为n次交代（交错）群，
n!。 2证明 恒等置换显然是偶置换；又任意两个偶置换之积仍为偶置换，则
记为An）且An的阶为
由于Sn是有限群可知，Sn中所有偶置换作成Sn的子群；另一边面，由于任何奇置换乘上一个对换就变为偶置换，而偶置换乘上一个对换就
n!变成奇置换，故n!个次置换中奇偶置换各半，即各为个，所以An的
2n!阶为。
2n次对称群Sn中的奇、偶置换各占一半，而n次交代群An中的置换全为偶置换。更一般地，其实任何置换群中的置换在奇偶性上均有此特征。
定理 一个n次置换群中的置换或者全是偶置换，或者奇、偶置换各占一半。
证明 设G是任一个n次置换群，因为G必包含单位元，即恒等置换，而恒等置换是偶置换，从而G必包含偶置换。
如果G中的置换全是偶置换，结论已证；如果G中含有奇置换，任意取定一个，设为?，则??1也是奇置换。并令A,B分别为G中全体奇、偶置换作成的集合，作映射?:????,???A，则易知?是A到B的双射，因此，|A|?|B|，即G中奇、偶置的个数相等，各占一半。
§2.6 陪集与lagrange定理
陪集和指数是群的理论中最基本的概念，它们和群的阶之间有着 密切的联系，这就是著名的lagrange定理。
1. 陪集的定义及性质
前面我们已经学习过了模n的剩余系数加群Zn，它是在整
数加群(Z,?)的同余关系的基础上建立起来的。现在从子群的角度看一看两个整数同余的条件，以便把剩余系数加群这一套做法推广到一般群上去。
在整数加群(Z,?)中，由正整数n生成的子群为H?(n)?{kn|k?Z}。 若a?b，则n|a?b，故a?b?H。反之，若a?b?H，则a?b，这样我们便有：a?b当且仅当a?b?H，从而把群Z上的同余关系?和群Z的子群H联系起来。下面我们仿照这个模式，在一个抽象群里利用其子群来定义其上的一个等价关系。
引理1 设H是群G的一个子群，规定a~b?ab?1?H，其中
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a,b?G，则关系?是G上的等价关系。
证明 显然是G的一个关系，而且具有
(1)反射性 ?a?G，有a~a．因为aa?1?e?G．
(2)对称性 若a~b，即有ab?1?H，则由H是子群有
ba?1?(ab?1)?1?H，所以b~a．
(3)传递性 若a~b,b~c，即有ab?1,bc?1?H，那么由H是子群有ac?1?ab?1?bc?1?H，所以a~c。 故?是G上的一个等价关系。
定义1 设H是群G的一个子群，由等价关系a~b?ab?1?H,其中a,b?G，所决定的一个等价类叫做群G关于子群H的一个右陪集．
下面讨论元素a所在等价类[a]?{x|x?a,x?G}由G的哪些元素组成．
为此我们先回忆一下群G的子集乘法．
G的所有非空子集作成的集合S?{A|A??,A?G}
?A,B?G，规定AB?{ab|a?A,b?B}，称为A与B的积，
这个规定是S的一个代数运算。
特别地，A?{a}，则AB?{ab|b?B}，记为aB；B?{b}，则
AB?{ab|a?A}，记为Ab。
如果G的运算为加法，规定A?B?{a?b|a?A,b?B}。
现在看等价类[a]中元素的结构，我们有[a]?Ha。
事实上，?x?[a]，则xa?1?H，则存在h?H，使得xa?1?h，于是有x?ha?Ha，所以[a]?Ha；?b?Ha，存在h?H，使得b?ha， 故ba?1?h?H，即b?a，所以b?[a]，于是Ha?[a]，从而[a]?Ha。
例1 设G?S3,H?{(1),(12)}，则H的右陪集为：
H(1)?H(12)?{(1),(12)}?H，H(13)?H(132)?{(13),(132)}，H(23)?H(123)?{(23),(122)}
这样一共得到H三个不同的右陪集H,H(13),H(23)，故
S3?H?H(13)?H(23)
例2 设G?Z12,H?{[0],[4],[8]}，那么，H有四个不同的右陪集：
H?{[0],[4],[8]}， H?[1]?{[1],[5],[9]}，
H?[2]?{[2],[4],[10]}， H?[3]?{[3],[7],[8]}
从而Z12?H?H?[1]?H?[2]?H?[3]．
以上都是有限群的例子，下边看一个无限群的例子。
例3 设G?(Q*,?),H?{1,?1}，则H的右陪集为：
H?{1,?1},H11?111?1H有无限多个右陪集．?{,},H?{,},?，
222333由右陪集与由子群导出的等价关系a~b?ab?1?H决定的等价
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类之间的联系不难导出以下一些今后经常用到的重要性质。 引理 2 设H是群G的一个子群，则
(1) a?Ha; (2)Ha?H?a?H;
(3)Ha?Hb?ab?1?H. (4) 若Ha?Hb??，则Ha?Hb (5)H与Ha等浓； (6)Ha与Hb等浓。 证明 （1）由于e?H，则a?ea?Ha
(2) 由右陪集定义知，Ha?H?[a]?[e]?a?e?a?H； （3）由右陪集定义知，Ha?Hb?[a]?[b]?a?b?ab?1?H；
,?cH，b则c?[a],c?[b，]于是 (4)设c?Ha?Hb，即c?Hac?a,c?b，从而由等价关系的对称性积传递性知，a?b，所以Ha?Hb。
(5) 作从H到Ha的映射?:h?ha,?h?H,显然?是一个满射；若
?(x)??(y)，即xa?ya，则由群的消去律知，x?y，即?是单射，故?是双射，从而H与Ha等浓。
(6) 由(3)知H与Ha等浓，H与Hb等浓，从而由双射的逆映射及双射的合成都是双射知，Ha与Hb等浓。
由于群G不一定是可换群，故对称地有H子群的左陪集的概念，而且
与右陪集有着完全平行的结果，现简述如下。
?1a?H，其中引理3 设H是群G的一个子群，规定a~b?b