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2.5 群的基本性质
下面来讨论群的一些基本性质。易知
性质1 群G的单位元及每个元素的逆元是存在的且惟一。
性质2 设（G，·）是一个群，则乘法适合消去律：
左消去律，即若ax?ay，则x?y； 右消去律，即若xa?ya，则x?y．
证明：只证左消去律，类似的可证右消去律．
设ax1?ax2，用a?1左乘此式，则得a?1(ax)?a?1(ay)，由结合律，有(a?1a)x?(a?1a)y，即ex?ey，从而x?y．
性质3 设（G，·）是一个群，a?G。如果a2?a，则a?e。 证明由群满足左消去律可证。 性质4 有限半群（G，·）若适合消去律，则G是一个群． 证明：设G?{a1,a2,?,an}，由群的方程定义知，对G中任意给定的元素ai,aj，只需证方程aix?aj，yai?aj在G中有解即可．
用ai左乘G的所有元素，得aia1,aia2,?,aian，由题设消去律成立，故这n个元素互不相同，亦即还是G的所有元素．那么，一定在G中有某一个ak，使得aiak?aj，即说ak就是aix?aj在G中的解．
同样，yai?aj在G中也有解，故G是一个群．
性质5 设（G，·）是一个群，（G，·）是一个具有乘法结构的集合，其中这两个乘法不必是一致的．若G~G，则G也是一个群．
证明：由于G~G，设G到G上的同态满射为?，则G的乘法适合结合律．
其次，我们证G有左单位元，在?下，令G的单位元e的象为
?(e)?e.?a?G，必有a?G，使?(a)?a，那么
ea??(e)?(a)??(ea)??(a)?a，即说e便是G的左单位元． 最后，看G的每一元素皆有左逆元．?a?G，令?(a)?a，
?(a?1)?b，则ba??(a?1)?(a)??(a?1a)??(e)?e，故b便是a的左逆
元．
综上所证，可知G也是一个群．
推论 若群G与群G同态，则G的单位元的象是G的单位元．G的元素a逆元的象是a的象的逆元．若G是可换群，则G亦为可换群．
G的代数运算是数的普通加法， 例22 设G?R（全体实数），G?R?（全
体正实数），G的代数运算是数的普通乘法，则群G与群G同构。
xy证明 如果?(x)??(y)，其中x,y?A，即e?e，则x?y，所以?是单
lny射；?y?A，取x?lny?A，则?(x)?e?y，即?是满射；再由
??(x?y)?ex?y?exey??(x)?(y)，?x,y?A，所以?是G到G的一个同构
映射，即G?G。
?
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例23 看群GLn(Q)及(Q*,?)，映射?:A?detA是GLn(Q)到Q*的一个满射。其次?A,B?GLn(Q)，有?(AB)?det(AB)?(detA)(detB)=?(A)?(B)， 故?是群GLn(Q)到Q*的一个同态满射，即GLn(Q)~Q*。
当n?1时?不是群GLn(Q)到Q*的同构映射，因为在?下矩阵
?1???1?????11????与都对应1，即?不是单射，故?不是同构映?????????????1??1???射。
§2.2 群中元素的周期
元素的周期是群论中一个非常重要的概念，对它的研究有助于洞察群的内部结构，它刻画了循环群的本质，同时利用它对群可作进一 步的分类，现在我们来研究群中元素的周期。
1. 元素的周期
定义2.1 设G是一个群，a?G，使am?e成立的最小正整数m叫做元素a的周期（也叫做a的阶）．若这样的m不存在，则说a的周期为无限,记为?.
（a）元素a的周期常用符号?或|a|表示。
由此可知，群中单位元的周期为1，而其它任何元素的周期都大于1.
例1 U4={1,-1,i,-i}（i是虚数单位）关于数的普通乘法作成一个群，其中?(1)?1,?(?1)?2,?(i)?4,?(?i)?4。
（0）?1．而其他数例2 整数加群(Z，+）中数零的周期为1，即?的周期皆为无限．
例3 非零有理数乘群Q*中，?(1)?1,?(?1)?2，而其余元素的周期均为无限．
定理1有限群中每一个元的周期都有限。
证明：设有限群G的阶为n，任取G的元素a，由G是群可知
a,a2,?,an?1都是G中元素 ， 而G的阶为n，所以其中至少有两个
元相等，不妨设 as?at,s?t，即at?s?e,其中 t?s?0，因此元a的周期不超过t?s，即a的周期为有限正整数，从而定理得证. 注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，甚至可能都无限。
例3 设Un是全体n次单位根对数的普通乘法作成的群，即n次单位根群，现在令U???Un，则由于一个s次单位根与t次单位根的乘
n?1?积必是st次单位根，U?每一个m次单位的逆元也是一个m次单位根，故U?对数的普通乘法作成一个群，而且是一个无限阶交换群，这个无限群中每个元素的周期都有限。
定义2 设G是一个群，若G的每一个元素周期皆有限，称G为周期群；若G中每一个非单位元的周期皆为无限，称G为无扭群（或纯无穷群）；若G中非单位元的周期有些是有限的有限是无限的，称G为混合群．
由定理1知，有限群是周期群，反之不成立，如U?是阶为无限的周期群；例2中的整数加群Z是无扭群，例2中的非零有理数乘群Q*为混合群．
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2. 元素周期的性质
定理2.2 设G是一个群，a?G。 若a的周期为m，则 (1) an?e?m|n； (2 ) as?at?m|s?t；
(3) a0?e,a,a2,?,am?1互不相同; (4) 集合H?{an|n?Z}的势为m。
证明：（1）若m?|n,则由带余除法知n?mq?r,其中0?r?m，那么，e?an?amq?r?amqar?ear?ar，再由?(a)?m知，必有r?0，从而m|n；若m|n,则存在整数q，使得n?mq，于是由a的周期为m知，
an?amq?(am)q?eq?e；
（2）由于as?at?as?t?e，由（1）知，as?at?m|s?t； （3）若有i,j，使得ai?aj，其中i?j且0?i,j?n?1,则由(2)知
n|i?j，而由 0?i,j?n?1知0?|i?j|?n?1，显然n?|i?j，从而
e,a,a2,?,am?1互不相同;
（4）?n?Z，则由带余除法知，存在整数q,r，使得n?mq?r,其
中0?r?m，于是由a的周期为m知，an?amq?r?amqar?ear?ar?H，