(1) 乘法封闭性，即?a,b?G,有ab?G; (2) 适合结合律，即?a,b,c?G,有(ab)c?a(bc); (3) G有单位元，即G有元素e,?a?G,有ea?ae?a; (4) G中任意a可逆，?a?G,a有逆元a?1,使a?1a?aa?1?e, 则说G对于它的乘法作成一个群，简称G是一个群，并称此定义为群的公理化定义．
例11 在数普通乘法下，所有非零复数C*作成一个群；所有的非零实数R*作成一个群；所有正实数R?作成一个群；所有正有理数Q?作成一个群．
例 12在数的普通加法下，所有整数Z，所有有理数Q，所有实数R，所
有复数C都作成一个群。
例12 数域F上的所有一元多项式集合F[x]关于多项式的加法作成一个群．
?f(x)?例13 G??|f(x)?0,g(x)?0?R[x]?,即所有非零的有理分
?g(x)?式作成的集合，G对于有理分式的乘法来说作成一个群．
例14 数域F上所有n阶满秩阵作成的集合对矩阵的普通乘法来说作成一个群，叫做F上的一般n阶线性群，记为GLn(F)．
例15 (Fn?n,?)(n?1)虽然都是有单位元的半群，但不是每一个元素都有逆元，故都不是群．
由上述讨论可知在一个群G中，由于有单位元以及每一个元素都有逆元，故对G的每一个元素a都可以整数次幂，并对任意整数m，n
近世代数 21
来说，指数运算规律anam?an?m;(an)m?anm;(ab)n?anbn,(当ab?ba) 皆成立．
例18 整数集Z对于数的普通加法显然做成一个交换群，0是它的左单位元，
整数-a是a的左逆元.这个群常被称为整数加群.
但应注意，整数集Z对于数的普通乘法不能做成群.因为，尽管普通乘法是Z的代数运算，并且满足结合律，也有单位元1，但是，除去1,?1外，其他任何整数在Z中都没有逆元.
例19 设G为整数集.问：G对运算a?b?a?b?4是否做成群？ 解 由于对任意整数a,b，显然a?b?4为由a与b唯一确定的整数，故所给运算?是G的一个代数运算.其次，有
(a?b)?c?（a?b?4）?c ?（a?b?4）?c?4?a?b?c?8 同理有(a?b)?c?a?b?c?8.因此，对G中任意元素a,b,c有 .(a?b)?c?a?(b?c)，即代数运算?满足结合律. 又因为对任意整数a均有a?(-4) =(-4)?a=-4+a+4=a，故-4是a的单位元.
最后，由于a?（-8-a）=（-8-a）?a=-8-a+a+4=-4，故-8-a是a的逆元. 因此，整数集G对于代数运算?作成一个群.
例20 问：由全体正整数作成的集合G对运算a?b?ab是否做成群？
解 所给运算显然是全体正整数集合的一个代数运算.但是结合律不成立，
（2?1）?2?2?2?2?4，2?（1?2）?2?1?2?2，即因为例如，
（2?1）?2?2?（1?2）。因此，全体正整数集合对这个代数运算不做成群。
对于一个集合，要考察它是否做成群，不仅要注意它的元素是什么，更要
注意它的代数运算是什么。因为同一个集合，对这个代数运算可能做成群，对另一个代数运算却不一定做成群;即使对两个不同的代数运算同时做成群，那么一
1221
般来说，也被认为是两个不同的群。
我们知道一个群的代数运算叫什么名称或用什么符号表示，这是非本质的。因此，在不致发生混淆时，有时为了方便，也常把群的代数运算叫做“乘法”，并且还往往把a?b简记为a?b或ab。
2.4 群的等价定义
群的方程定义 设(G，·)一个半群，若a,b?G，方程ax?b，
ya?b皆在G中有解，则称G作成一个群．
群的左左定义 若半群（G，·）满足：
(1) G有一个左单位元e，?a?G，有ea?a；
(2) G的每一个元素a皆有一个左逆元a?1，能让a?1a?e 则G作成一个群．
群的右右定义 若半群（G，·）满足：
(1) G有一个右单位元e，?a?G，有ea?a；
(2) G的每一个元素a皆有一个左逆元a?1，能让a?1a?e 则G作成一个群．
下面讨论群定义的等价性
定理2.4 群的公理化定义蕴含群的方程定义．
证明： ?a,b?G，对方程ax?b,ya?b．分别令x?a?1b?G，
y?ba?1?G即可。这样群的公理化定义蕴含群的方程定义。
定理2.5 群的方程定义蕴含群的左左定义
证明：先证G有左单位元e存在。在G中取一个固定的元b，令
yb?b的解为e，即eb?b．?a?G,令bx?a有解c，即bc?a，那么
有ea?e(bc)?(eb)c?bc?a，即e为G的左单位元．
近世代数 21
其次，证G任一元素a有左逆元存在，事实上，方程ya?e的解为
a?就是a的左逆元。这样群的方程定义蕴含着群的左左定义。
定理2.5 群的左左定义蕴含群的公理化定义． 证明：先证元素a的左逆元a?一定也是a的右逆元．
因为(aa?)(aa?)?a(a?a)a??aa?，用aa?的左逆元左乘此式，即得
aa??e．
其次证G的左单位元e一定也是G的右单位元.?a?G,设a?1是则有ae?a(a?1a)?(aa?1)a?ea?a，故e又是G的右单位元，a的逆元，
从而e是G的单位元．这样由群的左左定义可导出群的公理化定义。
注 （1） 用上述关于类似方法可论述定义群的右右定义与群的其它三个定义等价。
（2）利用群的左左定义，或群的右右定义时，要注意不能一条左一条右，如G?{e,a,b}，其乘法由下表给出：
可以验证（G，·）是一个半群，因ee?e，ea?a，eb?b，故e是G的左单位元．又ee?e，ae?e，be?e，即说e是每一个元素的右逆元，但（G，·）不是一个群．
2.5 群的分类
定义2 一个群G的乘法如果适合交换律，即ab?ba,?a,b?G,称
G是一个可换群，或Abel群；否则称为不可换群或非Abel群。
例如 整数Z集合关于数的普通加法做成一个可换群；非零有理数集合Q*关于数的普通乘法做成一个可换群；当n?1时，一般线性群
GLn(F)是非可换群。
注 习惯上，把一个可换群也叫做一个加群，它的运算叫加法，并通常用加号“+”来表示，它的单位元叫零元，并记为0，即0?a?a?0?a，元素a的逆元a叫负元，记为?a，即有a?(?a)?a?(?a)?0，相应方
n个?????????na?a?a???a?幂改为na，即有?0a?0;，指数规律相应地变为
?(?n)a??(na).??na?ma?(n?m)a；m(na)?(mn)a；n(a?b)?na?nb．
定义2.3 群G中的元素个数叫做G的阶，记为|G|；若|G|为有限数，则G叫做有限群，否则叫做无限群．
注：无限群的阶称为无限，被认为是大于任意的正整数。例如，|G|?1意味着G可能是阶大于1的有限群，也可能是无限群。
我们前面所提到的一切群都是无限群，下面一个有限群的例子。 例21 n个n次单位根作成的集合G?{x?C|xn?1}对数的普通乘法做成一个群，把这个群记为Un，并称Un为n次单位根群，其阶|G|?n。 事实上，由于任两个n次单位根的乘积以及n次单位根的逆均仍为n次单位根，又1是n次单位根，故Un作成群，而且是一个n阶有限交换群。 以后将知道，n次单位根群是一种很重要的群。