循环群是构造最简单的一类群，它的元素与运算基本和整数与整数加法一样；循环群也是最基本最重要的一类群，许多较为复杂的群都可归纳为循环群来研究，比如有限生成可换群都是循环群的直和。在群论中，循环群是研究清楚了的一类群，所谓研究清楚是指它的结构定理，存在问题，个数问题以及子结构问题都已解决。
1.循环群定义及例子
定义2.12 设G是一个群，a?G，若G的任一元素皆为a的方幂，即G?{an|n?Z},则G叫做由a生成一个循环群，a叫做G的生成元，并记G?(a)．
若群的代数用加法表示时，则方幂就改为倍数，从而由元素a生成的循环群G应表示为：G?{ma|m?Z}。
例1
3次单位根作成的成群U3?{1，?，?2}，其中
????i一般地，
123，是一个由?生成的3阶循环群． 2例2 n次单位根乘群Un是一个n阶循环群.
2?2??isin，则Un?{即Un?(?)。 1,,?,??}n?1，nn例3 在平面上使图中正方形（如图）
事实上，设??cos
近世代数 21
不变的旋转变换，共有四个，它们关于变换的合成作一个群G，若令?3??表示旋转的变换，则旋转?的变换为?2，旋转的变换为?3，而恒
22等变换便是?0，故G?{?0,?,?2,?3}，即G为一个4阶循环群。 例4 设n是任意给定的正整数，由整数集上等价关系a?b?
a?b(modn)所决定商集为Zn={[0],[1],?,[n?1]}。
[]a[]?b[?a]?b我们在Zn上规定一个加法运算“+”：
，下面说明Zn关于这个运算是一个循环群。
首先看规定的+是Zn上的代数运算，即规定的运算+与代表元选择
]?[]s，[b]?[t]，s，n|b?t，无关。设[a则n|a?从而n|(a?b)?(s?t)，
即有[a?b]?[s?t]，这就说明剩余类的加法与每类中代表元的选择无关，即此加法+是Zn上的一个代数运算，即(Zn,?)是一个代数结构；
其次，按上述规定的加法满足结合律与交换律。 由于([a]?[b])?[c]?[a?b]?[c]?[(a?b)?c]=[a?(b?c)]=
[a]?[b?c]=[a]?([b]?[c])及[a]?[b]?[a?b]?[b?a]?[b]?[a]
并且 [0]?[a]?[0?a]?[a]，所以(Zn,?)[?a]?[a]?[(?a)?a]?[0]，是一个可换群，称为模n的剩余系数加群。
最后说明(Zn,?)是一个循环群。由于?[m]?Zn，有[m]?m[1]，从而(Zn,?)是由[1]生成的一个n阶循环群。
例5 整数加群(Z,?)是无限循环群．
由于1?Z，又对任意整数n，有n?n?1，故加群Z是由1生成的一个无限循环群，易知-1也是加群Z的一个生成元。
以上例子说明任意n阶循环群及无限循环群皆存在。 2.循环群的结构及生成元
定理 1若G?(a)是循环群， G的组成结构和运算结构为： (1) 如果?(a)?n，则G?(a)?{e,a,?,an?1}，运算规律为：
am?al?am?l?ar，其中m?l?nq?r,0?r?n，?am,al?G．
(2) 如果?(a)??，则G?(a)?{?,a?1,e,a,?}，运算规律为：
am?al?am?l，?am,al?G．
由生成元a的周期的性质易知循环群G的组成结构和运算结构 推论1 设G是一个n阶群，则G是循环群当且仅当G有周期为n的元素。
证明 设G?(a)是n阶循环群，则由定理1知，生成元a的周期是n；反之，设G有周期为n的元素a，则易知H?{e,a,?,an?1}是G的一个n阶子群，再由G的阶是n知，G?H，即设G?(a)是n阶循环群。 由此推论知，n阶循环群的一个元素是不是生成元，就看这个元素的周
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期是不是n。
定理 2 无限循环群(a)只有两个生成元，即a与a?1；n阶循环群(a)有
?(n)个生成元，其中?(n)为欧拉函数。
证明 由于无限循环群(a)的生成元a周期为?，则a与a?1显然是(a)的生成元，如果am，其中，m?1,?1也是(a)的生成元，则存在整数s，使得a?(am)s?ams，此时由?(a)??知，1?ms，所以m?1或m??1矛盾，从而无限循环群(a)只有生成元a与a?1；
由于n阶循环群(a)的生成元a周期为n，则ak，其中1?k?n，是(a)的生成元当且仅当ak的周期也是n，亦即(k,n)?1，从而(a)有?(n)个生成元。
例如 4，5，6阶循环群分别有?(4)?2,?(5)?4,?(6)?2个生成元。
3.循环群的个数
下面看循环群的个数问题
定理3 设G?(a)是任意一个循环群。 (1) 若a的周期无限，则G?Z； (2) 若a的周期为n，则G?Zn．
证明：(1) 设?(a)??，显然as?at?s?t，于是映射?:ak?k，
?ak?G，是循环群G到整数加群Z间的一个双射．其次，?as,at?G，
有?(as?at)??(as?t)?s?t??(as)??(at)，故?是循环群G到整数加群
Z间的一个同构映射，因此G?Z；
(2) 设?(a)?n，则G?(a)?{e,a,?,an?1},令?:ak?[k],?ak?G则
?是G到Zn的一个双射，其次，?ak,al?G，由带余除法知，k?l?nq?r，其中0?r?n，则有?(ak?al)??(ak?l)?[r]?[k?l]
?[k]?[l]=?(ak)??(al)，故?是循环群G到模n的剩余系数加群
Zn的一个同构映射，因此G?Zn。
由于群间的同构关系具有反身性、对称性和传递性，故此定理说明，凡无限阶循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。
这样，抽象地看，即在同构意义下，无限循环只有一个Z，n阶循环群只有一个Zn。
4.循环群的性质
定理4 循环群一定是可换群．
证明：设循环群G?(a)，则?am,ak?(a)，有
amak?am?k?ak?m?akam，故G为可换．
定理5 循环群的子群是循环群。
证明：设H是循环群G?(a)的任一个子群。
如果H?{e}，H显然是一个循环群；如果H?{e}，则有ak?G，其中ak?e，则a?k?G，此时令n?min{m|am?H,m?0}，下证