矩阵法表示 即若?是A上的一个置换，即?:i??(i),?i?A， 那么将此置换?表示为:
2?n??1?????(1)?(2)??(n)??
??即把每个数码i的象?(i)记在次2?n矩阵的下边．
注 一个置换上排的数码可以不按自然顺序排列，但每个数码i的下边还是其象?(i)，这个不能改变．
例5 设A?{1,2,3,4}，?:1?3,2?4,3?2,4?1，则
?1234??2431???记为??? 或 ???3421??4123??。
?????123?例6 3次对称群S3由以下6个置换组成，即 ??,
?123??123??123??123??123??123???,??，??,??,??， 132213231312321??????????
一共有3!=6个，故|S3|?6． 定理2 |Sn|?n!
?12?n?证明：由于一个n次置换??ii?i??中的第二排是1，2，?，
n??12n的一个排列，而n个数码的排列有n!，故|Sn|?n!．
近世代数 21
注意 (1)当n?2时，Sn是不可换群；(2)S3是阶数最小的不可换群． 利用置换的矩阵表示给出置换的运算表示
一般，在Sn中两个元素可进行以下运算：设?,??Sn，其中
?12?n??1?????,?????j?i1i2?in??12?j2?n??，并将写成 jn???j1j2?jn??12?n??1????，则?????????????k1k2?kn??i1i2?in??j1?j1j2?jn?=??kk?k??n??12如????2?2?j2?n?? jn???1??j?12?j2?n??12?n???=?。 ???jn??k1k2?kn??1234??1234??1234??????，则 ,???????????314??2143??3241?ik?1?in??i1i2?ik???ik?1?in??i1i2?ikik?1?in?
??1?in??ik??i1i2?ik特别地，???ik??i1?i2=???i1i1?ik??ik??i1?i2ik?1?in?。
??1?in??ik?2.2 置换的轮换表示
定义4 （轮换）设??Sn,如果
（1） 对某个数码i1,有?(i1)?i2,?(i2)?i3,??(ik)?i1;
（2）其余数码（如果还有的话）在?下皆不变，则?叫做一个k－轮换，或叫k－循环置换，简称k-循环，并表示成
??(i1i2?ik)?(i2i3?i1)???(iki1?ik?1)．
?123?例如 ???(23)?(32)，
132??为了方便起见，看几个概念
?123????(123)?(231)?(312) 231??定义1 把恒等置换叫做1-轮换，记为(1)?(2)???(n)；2-轮换称为对换。 定义 2 无公共数码的轮换称为不相连轮换(循环)或不相交轮换(循环)。
定理 2 不相连轮换相乘时可以交换。
证明 设?,??Sn，且??(i1i2?ik)，??(j1j2?js)为两个不相连轮换，则由变换乘法知，乘积??与??都是集合{1,2,?,n}的以下变换： i1?i2，i2?i3，
别的元素不动，因此?????。 ?,ik?i1，j1?j2，j2?j3，?,js?j1，定理3 Sn中任一?皆可表示为不相连轮换的乘积．
证明：对?中变动的数码个数r进行数学归纳证明．
当r?0，则?=（1），即结论成立．假定对变动数码的个数?r的一切?成立，现在看变动数码为r的?的情况，取一个被?变动的数码
i1，从i1出发，依次找i1的象i2，i2的象i3，这样找下去，直到第一次找到一个ik为止，这个ik的象不再是一个新的元，而是前面已经得到过的一个元ij，其中1?j?k，由于?是一个n次置换，则这样的ik是一定存在的且?(ik)?i1，因为ij，其中2?j?k已经是ij?1的象，不能再是ik的象，因此得到?(i1)?i2,?,?(ik)?i1。
若k?r，那么，?本身已经是一个r-轮换，即定理成立．若k?r，即
近世代数 21
k???12?i2i3?ir?ii?iik?1?irik?1?irir?1?in???ir?1?in??i1i2?ik??i1i2?ikik?1?ir??1?ir?ikir?1?in??=(i,i,?,ik)?， ir?1?in?12ir?1?in?此时由于?中变动数?，
ir?1?in??i1i2?ik其中????i1i2?ikik?1?ir??1?ir?ik码个数?r，于是由归纳假定知，它等于不相交轮换的乘积
?2??1?2??s，其中?1,?2,?,?s是两两不相交轮换。
还要说明(i1,i2,?,ik)与每个?i不相交，i?1,2,?s，假设若有某个?t，
使得?t?(?ipiq?)，其中1?p?k,1?t?s，则?(ip)?iq与ip在?不变矛
盾．
从而综上所证，定理得证。
用轮换和轮换的乘积来表示置换，在书写时非常简便，并且能告诉我们每一个置换的特性。
例 1 S3的6个元素用循环表示出来就是：
(1)；(12),(13),(23)；(123),(132)
例 2 S4的24个元素用循环或循环的乘积表示出来就是：
(1)；(12),(13),(14)，(23),(24),(34)；
(123),(124),(132)，(142),(134),(143)，(243)，(243)； (1234),(1243),(1324)，(1342),(1423),(1432)；
(12)(34),(13)(24),(14)(23)。
下面我们讨论轮换的性质 定理3 Sn中轮换有下列性质： (1) k-轮换(i1i2?ik)的周期是k；
(2）不相连轮换乘积的周期为各因子周期的最小公倍数； (3) 任何一个轮换都可表示成对换的乘积；
证明：(1) 由直接验算知，当1?m?k时有，(i1i2?ik)m?(i1im?1?)?(1)， 而(i1i2?ik)k?(1)，故k-轮换(i1i2?ik)的周期是k；
（2）设?1,?2,?,?s分别是周期为k1,k2,?,ks的不相连轮换，且令
t?[k1,k2,?,ks],则由于ki|t，i?1,2,?,s且不相连轮换相乘时可以交换，故(?1?2??s)t??1?2??s?(1)；另一方面，设若(?1?2??s)m?(1) ，则同样有?1t?2t??st?(?1?2??s)t?(1),此时只有?it?(1)，i?1,2,?,s ，否则由于?1t,?2t,?,?st仍是不相连轮换，而不相连轮换乘积不可能是(1)，
但是?i的周期是ki，故ki|m，i?1,2,?,s，从而有最小公倍数的性质知，
tttt|m，这样?1,?2,?,?s的周期就是t?[k1,k2,?,ks]。
（3） 设??(i1i2?ik)是任一个k-轮换，如果k?1，则??(1)?(12)(12)； 如果k?2，则??(i1ik)(i1ik?1)?(i1i2)。
定理 5 每个置换都可表为对换之积，并且其对换个数的奇偶性不变。 证明 (1)由定理3及定理4中（3）知，每个置换都可表为对换之积；