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H?(an)．因为?as?H，则由带余除法知，s?nq?r，0?r?n，则必有r?0．不然，若r?0，则ar?as?nq?as(an)?q?H，这与n最小性矛盾，这样s?nq，即有as?(an)q，故H?(an)．
从而综上所证，循环群的子群是循环群。 定理 设循环群G?(a)。
(1) 若?(a)??，则G有无限多个子群；
(2) 若?(a)?n，则对n的每个正因数k，G有且只有一个k阶子群,这个子群就是(a)。
证明 （1）若?(a)??，则易知(e),(a),(a2),?，(an),?，其中n是任意正整数，是G?(a)的全部互不相同的子群，且除(e)外皆为无限循环群，从而彼此同构；
（2）若?(a)?n，k|n且n?kq，则?(aq)?k，从而(aq)是(a)的一个
k阶子群。又设H也是(a)的一个k阶子群，则由定理4，可设
nk则?(am)?k，又?(am)?H?(am)，
nn(,)，?k，，故即n?knm(n,m)(n,)m则由n?kq知，q?(m,n)，即q|m，从而am?(aq)，进而H?(aq)，再由H与(aq)阶相同，故H?(aq)，即(a)的k阶子群是存在唯一的，即为(a)。
nk
设n是大于1的整数，则由算术基本定理知，n?p1k1?pmkm，即n的标准分解式，其中piki，i?1,2,?,m是互不相同的素数，ki,i?1,?,m是正整数，进而易知n共有T(n)?(k1?1)?(km?1)个正因数，这里的T(n)是n的正因数的个数。于是由以上定理可得以下推论。 推论 n阶循环群有且只有T(n)个子群。
例如 4，5，6阶循环群分别有3，2，4个子群。 这样通过以上两个定理，对循环群的子群的情况，我们了解很清楚了。 定理6循环群的同态像也是循环群。 证明 设G?(a)，G是一个群且G?G，设?是群G到群G的一个同态满射，令?(a)?a，?x?G，由于?是满射，则有b?G，使得
??(b)?x；又因b?G，则有整数m，使得b?a，故x??(b)??(am) ??(a)?(a)，从而G?(a)。
mm??m?§2.5 变换群与置换群
变换群是我们要介绍的第二类重要的群，其所以重要，从理论上讲，任一群皆和一个变换群同构，即说任何一个群皆可以在变换群中找到模型。从应用上讲，利用变换群的观点可以将几何进行科学分类，可以对化学中的晶体进行分类。
下面我们将详细讨论变换群及置换群，首先复习一下我们熟悉的几个概念。
1.变换群
定义1 设A是一个集合，A到A的一个映射叫做A上的一个变换。
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定义2 设A是一个集合，A到A的一个双射映射叫做A上的一个一一变换。
例1 设集合A?Z。
?：n?n?1,?:n??n，?n?A，都是A上的一一变换． 例2 设A?{1,2,3}，则?1:?1,2都是A的一一变换．
用S(A)表示A的所有一一变换作成的集合
引理 设A是一个集合，用S(A)表示A上的所有一一变换作成的集合，则S(A)关于变换的合成作成一个群。
事实上，显然变换的合成是S(A)的一个代数运算，今后就叫变换的乘法．由第一章知，变换的乘法满足结合律，恒等变换是S(A)的单位元．S(A)中任一个变换都有逆变换，从而S(A)关于变换的合成作成一个群。
定义3 设A是一个集合，称群(S(A),?)为A的对称群。其中代数运算?是变换的乘法。
定义4设A是一个集合，群(S(A),?)的任意子群叫做A的一个变换群．
例3 设A?{1,2,3}，?:1?2,2?3,3?1，?:1?3,2?1,3?2，那么可验证{IA,?,?}便是A的一个变换群．
例4 V是有理数域Q上的一个线性空间，W={V上的一切可逆
3,3?2?，?:1?2,2?3,3?1
线性变换}，则由高等代数知识知，W是V的一个变换群，这个群是无限阶的.
注意：一般来说，变换群是不可换群. 下面来建立抽象群同变换群之间的联系。 定义4 （左乘变换）：设G是一个群，a?G，利用a作G的一个变换．即说x对应着用a左乘x而得的元素ax．La:x?ax,?x?G，La叫做G的一个左乘变换．
可证La:x?ax,?x?G是群G上的一个一一变换。若La(x)?La(y), 即
ax?ay，则由群的消去律知，x?y，即La是一个单变换；?b?G，
令方程ax?b在G中的解为x0，即ax0?b，则La(x0)?b，即La是一个满变换，从而La是群G上的一个一一变换。
引理2 设G是一个群，G上所有左乘变换作成的集合为
G?{La|a?G},则G关于变换乘法是一个代数结构．
证明 ?La,Lb?G，其中a,b?G，则?x?G有，(LaLb)(x)?La(Lb(x))
??La(bx)?a(bx)?(ab)x?Lab(x)，所以LaLb?Lab，故G关于变换乘法是一个代数结构．
定理1 （Cayley定理）任一群G都与G的一个变换群同构．
证明：我们来证明G与G的所有左乘变换作成的群G同构． 作映射?：a?La，?a?G，显然由作法知?是一个满射．又 若?(a)??(b)，其中a,b?G，即有La?Lb，则特别地G的单位元
e分别在La与Lb下的象相等，即La(e)?Lb(e)，则a?ae?La(e)?
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Lb(e)?be?b，这样?便是从G到 G的一个双射．另一方面，
有?(a?a,b?G，b)?Lab?LLa()?b()ab??，所以?便是从群G到
代数结构G的一个同构映射，故G?G，再由定理2.2.7知G也是个群，从而定理得证。
2.置换群
置换群是特殊的变换群，是群论中最早研究的一类群，利用这种
群，19世纪法国数学家伽罗瓦成功地解决了代数方程是否可用根式求解的问题，而且它是一类重要的非可换群。现在来讨论这种群的基本性质。
定义1 有限集合上的一个一一变换叫一个置换．特别地，含有n个元素的集合上的一个置换称为一个n次置换．
定义2 一个包含n个元的集合上的全体置换作成的群叫做n次对称群，记为Sn.
定义3 Sn的任一个子群，叫做A的一个置换群．
实际上n次对称群Sn及置换群分别是特殊的对称群及变换群，因此由Cayley定理立即得到一下推论。
推论 每个有限群都同一个置换群同构。
我们在研究有限集合的置换时，这个有限集合中的元素是什么是无关紧要的，因此，为了方便起见，约定含有n个元素的集合A常表示为{1,2,?,n}，并且一般n都是大于1的整数。
由于集合A?{1,2,?,n}有限这个特点，使我们对一个n次置换及其乘法可以采用新的表示，从而给我们带来讨论上的方便。现在我们来看集合A上置换的三种表示形式—矩阵法表示，轮换表示与对换表示。 2.1 置换的表示