近世代数 21
?a,b?H，由上知b?1?H，从而条件知ab?a(b?1)?1?H，故定
理2.1 中的(1)成立．
定理2.3 设H是G的一个非空子集，那么，H是G的一个子群当且仅当H满足一个条件：?a,b?H，有b?1a?H．
证明与定理2.2类似，略去。
若H为有限集，则这时检验起来更简单．
定理2.3 设H是G的一个非空有限子集，那么，H是G的一个子群当且仅当H满足一个条件：? a,b?H，有ab?H．
证明：只需看条件的充分性，显然H现在是G的一个子半群，由于消去律在G中成立，从而在H中亦成立，故由定理2.2.5知H是G的一个子群.
现在再看群G中一个重要的子群。
定义2.2 设G是一个群，令C(G)?{a|ax?xa,?x?G},叫做群G的中心。
显然，一个可换群G的中心是其本身G．一般线性群GLn(F)的中心是F上一切n阶满秩数量阵作成的集合{aE|a?F*}．
定理2.4 群G的中心C(G)是G的一个子群．
证明 易见e?C(G)，故C(G)非空；?a,b?C(G)，那么?x?G，有ax?xa,bx?xb，则(ab)x?a(bx)?a(xb)?(ax)b?(xa)b?x(ab), 故ab?C(G)；?a?C(G)，?x?G，有ax?xa，那么，用a?1左乘此式，便得x?a?1xa，再用a?1右乘此式，便得xa?1?a?1x，即说
a?1?C(G)．由定理2.1即知C(G)作成G的一个子群.
3.子群的运算
定理2.5 设H1，H2是G的子群，则H1?H2亦是G的子群． 我们用定理2.3来检验，?a,b?H1?H2，则a,b?H1，故
ab?1?H1；同样ab?1?H2，从而ab?1?H1?H2，故H1?H2是G的子群．
这个事实，对G的任意多个子群来说也是成立的．但一般H1?H2不是大群的子群．比如在（Z，+）中，H1?{2n|n?Z},H2?{3n|n?Z}
H1?H2便不是Z的一个子群．因为2、3?H1?H2, 但2?3?5?H1?H2
但适合某些条件的子群其并是可以作成子群的．比如 例7 设Hi(i?1,2,?)是G的子群，且H1?H2???Hn?? 则H??Hi作成G的一个子群．
i?1?证明：?a,b?H，则存在i，j使a?Hi,b?Hj.不妨设j是i，j中较大者，则Hi?Hj，故a,b?Hj，因Hj是子群，故ab?1?Hj，从而ab?1?H，因而H作成G的一个子群.
定义2.3 设G是群，S是G的非空子集合，令{Hi|i?I}是G中包含S的全体子群所够成的子群族，将?Hi叫做由S生成的G的子
i?I
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群，记为(S)，并称S中的元素为子群(S)的生成元，S为子群(S)的生成元集。
由子群的定义易知(S)为全体的有限积：a1n1?atnt，其中
ai?S,ni?Z，i?1,?,t，t是任意取定的正整数，所构成的集合．
(S)可能由群G中别的子集合生成，即可能有(S)?(Y)，但
S?Y；若S?{a1,a2,?an}，把(S)记为(a1,a2,?an)称(a1,a2,?an)为
群G的有限生成子群；S?{a}，称(a)为G的由a生成的循环子群；若
G?(a1,?an)，其中ai?G,i?1,?,n，则称G为有限生成的．
（H?K)为定义 设H,K是群G的两个子群，称由H与K生成的子群H与K的联合，记作H?K。
例8设G是群，a,b?G，并且?(a)?3,?(b)?2，ba?ab，求由a,b生成的子群(a,b)的阶。
解：按定义(a,b)?{x11x22?xss|xi?a或b,ni?Z}。由于ba?ab，并
nnn,且?(a)?3,?(b)?2，从而(ab)任一元素可表为：的
b)的周期最多是6。又因h?aibj,i?0,1,2,j?0,1,所以(a,(?(a),?(b))?1,ba?ab，所以?(ab)|??(a)?(b)?6，因此知(a,b)是由
0ab，a,b生成子群为6阶群，其元素为e?(ab)，(ab)2?a2，(ab)3?b，
(ab)4?a，(ab)5?a2b。 现在来讨论子群的积
定义3 设A,B是群G的任意两个非空子集，规定
AB?{ab|a?A,b?B}，A?1?{a?1|a?A}，
并称AB为A与B与乘积，A?1为A的逆。
由此易知，对群G中任意三个非空子集A,B,C，有下列等式成立：
A(BC)?(AB)C，A(B?C)?AB?AC，(AB)?1?B?1A?1，(A?1)?1?A.
于是，由群的判定定理可直接得到以下两个推论。
推论1 群G的非空子集H是G的子群当且仅当HH?H，且H?1?H。 证明 设H?G，则显然HH?H，H?1?H；?a?H，则必有a?1?H，从而a?(a?1)?1?H?1，故H?H?1，即有H?H?1。
反之设HH?H，H?1?H，则由HH?H知H对G的乘法封闭；
?a?H，由H?1?H知，必存在b?H，使得a?b?1，则
a?1?(b?1)?1?b?H，于是由定理2知H?G。 类似有
推论2 群G的非空子集H是G的子群当且仅当HH?1?H。
证明 设H?G，则HH?1?H，又显然H?HH?1，于是有HH?1?H； 反之若有HH?1?H，则?a,b?H，有ab?1?HH?1，即ab?1?H，故由
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定理3知H?G.
推论3 群G的非空子集H是G的子群当且仅当H?1H?H。 证明与推论2类似，略去。 特别地，由定理4易知
推论4 群G的非空有限子集H是G的子群当且仅当HH?H.
证明与定理2.2类似，略去。 定理 5 设H,K是群G的两个子群，则HK?G当且仅当HK?KH。
证明 设HK?G，则由推论1知，HK?(HK)?1=K?1H?1?KH； 设HK?KH，则(HK)(HK)?1?(HK)(K?1H?1)?(HK)(KH) =H(KK)H=HKH=HHK?HK，从而由推论2知，HK?G。 值得注意的是，本定理HK?KH是两个集合相等，并不是H中任何元素与K中任何元素相乘时可以交换；显然G是可换群时有HK?KH。
推论 设H,K是可换群G的两个子群，则HK?G。 另外，应注意两个子群的乘积不一定是一个子群。比如，
?0?1??01?在一般线性群GLn(Q)中，易知a???10??，b????1?1??的周期
????都有限，且分别为4,3。令H?(a)，K?(b)，则HK最多有12个元素，
?11?HKa,b?a,b显然但在其乘积ab??所以HK不?01??的周期却为无限，
??是GLn(Q)的子群。
§2.4 循环群