a,b?G，则关系?是G上的等价关系。
定义2 设H是群G的一个子群，由等价关系a~b?b?1a?H,其中
a,b?G，所决定的一个等价类叫做群G关于子群H的一个左陪集．
元素a所在等价类[a]?aH?{ah|h?H}。
引理 4 设H是群G的一个子群，则
(1) a?Ha; (2) aH?H?a?H；
(3) aH?Hb?b?1a?H； (4) 若aH?bH??，则Ha?Hb (5)H与aH等浓； (6) aH与bH等浓。 证明方法和关于右陪集性质的证明类似。
如果用Ha,Hb,?表示子群H在群G中的所有不同的右陪集，则有等式G?Ha?Hb??，称其为群G关于子群H的右陪集分解，并称
{a,b,?}为G关于H的一个右陪集代表团；同样可以定义群G关于子
群H的左陪集分解及G关于H的一个左陪集代表团。 应注意，子群本身是G的一个右（左）陪集，但G的任何别的右（左）陪集都由于没有单位元，当然都不是G的子群。
一般来说，同一个子群H所决定的左、右陪集不一定相同。
例4 设G?S3,H?{(1),(12)}，则H的左陪集为：
(1)H?(12)H?{(1),(12)}?H， (13)H?{(13),(123)}， (23)H?{(23),(132)}
这样一共得到H三个不同的左陪集H,H(13),H(23)，故
近世代数 21
S3?H?H(13)?H(23)。
H的左、右陪集之间却有着相同的地方。易知 2. 指数
定理2 令Sl?{aH|a?G},Sr?{Ha|a?G},则Sl与Sr等浓． 证明：利用陪集的代表，作对应?：aH?Ha?1,?aH?Sl。 先证?是一个映射，即要说aH的象与a选择无关，事实上 若aH?bH?b?1a?H?(b?1a)?1?H?a?1b?H?Ha?1?Hb?1；
?Ha?Sr，易见?(a?1H)?Ha，故?是满射，下边看?是单射． 若aH?bH?b?1a?H?(b?1a)?1?H?a?1b?H?Ha?1?Hb?1. 故?是从Sl到Sr的一个双射映射，从而Sl与Sr等浓．
根据此定理的证明可知，由G的左陪集分解：G?aH?bH??， 可立即得到G的一个相应的右陪集分解：G?Ha?1?Hb?1??。 这就是说，当{a,b,?}是G关于子群H的一个左陪集代表团时，则
{a?1,b?1,?}必然是G关于子群的一个右陪集代表团。
定义3 群G关于子群H的所有互异的左（或右）陪集的个数叫做H在G中的指数，记为[G:H]。
例1 中 [S3:H]?2，例2 中 [Zn:H]?4，例3 中 [Q*:H]??。
定义2 由等价关系a~1b?b?1a?H,所决定的等价类叫H的左陪集．
下边看关于有限群的一个基本定理
3.lagrange定理
定理3 （lagrange定理）设H是有限群G的一个子群，则
|G|?[G:H]|H|。
|H|?m,则G被分成k个不同右陪集之并，而证明：设[G：H]?k，每个右陪集又刚好有m个元素，故|G|?km?[G:H]|H|。
推论 设有限群中每个元素的阶都整除群的阶。
证明：设a是有限群G的任一个元素，且?(a)?n,则a生成G的一个阶是n的子群，于是由Lagrange定理知n||G|，即?(a)||G|。
§2.7 不变子群与商群
由上一节知，对于群G的一个子群H来说，左陪集aH不一定与
右陪集Ha相等，但是有些子群对群G中任意元素a都有aH?Ha，这就是我们本节主要研究的子群-正规子群，正规子群是群论中最重要的 概念之一，首先看正规子群的定义及简单性质。
1.正规子群的定义及性质
定义1 设G是一个群且N?G，如果对G中每一个元素a都有aN?Na，则N叫做G的一个正规子群，也叫不变子群，记为N?G．
就是说，正规子群的任何一个左陪集也是一个右陪集，因此简称为陪集；此外，应该注意a与N交换而不是指?n?N，有an?na，而是有n??N，使an?n?a．
显然群G的平凡子群都是G的正规子群，称其为群G的平凡正规子群，G的其它正规子群，如果存在的话，称为G的非平凡正规子群。 可换群的任一子群是正规子群。
例1 设G?GLn(Q),N?{aE|a?Q*},则N?G.
近世代数 21
例2 群G的中心是C(G)的一个正规子群。
定义2 一个群叫做单群，如果它没有非平凡的正规子群。 2. 正规子群的判定
判断群G的一个子群是不是正规子群，除了按照定义外，以下再给出判断一个子群是正规子群的条件。
定理4 设H是群G的子群，则以下四个条件等价：
(1) aH?Ha,?a?G; (2) a?1Ha?H,?a?G; (3) a?1Ha?H,?a?G; (4) a?1ha?H,?a?G,?h?H.
证明：按照(1)?(2)?(3)?(4)?(1)的次序进行论证．
(1)?(2) aH?Ha?a?1aH?a?1Ha?a?1Ha?H; (2)?(3) a?1Ha?H?a?1Ha?H; (3)?(4) a?1Ha?H?a?1ha?H;
(4)?(1) a?1ha?H?a?1Ha?H?把a取为a?1，有
(a?1)?1Ha?1?H?aHa?1?H?a?1aHa?1a?a?1Ha，这样 H?a?1Ha,从而aH?Ha。
例 3 克莱因四元群K4?（）{1（,12）(34),(13)(24),(14)(23)}是S4的一个正规子群，因而也是交代群A4的一个正规子群。
证明 因为K4中除单位元外的三个元素是S4中仅有的周期为2的偶置换，现任取其中的一个，设为x，则???S4，乘积??1x?显然仍是一个周期为2的偶置换，从而??1x??K4，故K4?S4，于 是 再由K4?A4知K4?A4。
正规子群的运算
定理 群G的任意两个正规子群的交还是G的一个正规子群。 证明 设N,H是群G的任意两个正规子群，则由定理3.4知
N?H?G；?x?G,?n?N?K，即n?N且x?H，则x?1nx?N且
x?1nx?H，即x?1nx?N?H，所以N?H?G。
定理 群G的一个正规子群与一个子群的乘积是G的一个子群；群G的两个正规整子群的乘积仍是一个正规子群。
证明 (1) 设N?G,H?G,NH显然非空；任取nh?NH，其中
HNn?N,h?H，由于hN?Nh，故nh?Nh?hN?，从而NH?HN；
同理可得HN?NH，因此HN?NH，故由定理3.5知NH?G。
,H?（2）设N?GG，则由(1)知，NH?G；?x?G，有
(N?x)HNHG。 (N?)Hx，故(NH?xx(NH)?(xN)?H(N)x?H2. 商群
正规子群之所以重要，其根本原因在于这种子群的全体陪集对于子
集的乘法可以作成一个新的群-商群。