代入椭圆方程得
48??1．????② 9a23b2由①②解得b2＝3（－8／9舍去），a2＝4．
x2y2??1． 所以椭圆C1的方程是43???????????????226226446(II)MN?MF1?MF2?(?1?,0?)?(1?,0?)?(?,?)
333333因为直线l//MN，所以kl?6．设直线l:y?6x?m，
代入椭圆方程得27x?86mx?4m?12?0．设A，B两点坐标分别为
（x1,y1）,(x2,y2)，
则??(86m)2?4?27?(4m2?12)?0，故m?27．
222864m2?12因为x1?x2??， m,x1?x2?2727所以y1?y2?(6x1?m)(6x2?m)?6x1?x2?6m(x1?x2)?m2．
????????因为OA?OB?0，所以x1?x2?y1?y2?0．
故
7x1?x2?6m(x1?x2)?m2?0即
4m2?12867??6m(?m)?m2?0．
2727解得m?12，满足m?27．因此直线l的方程y?6x?23．
22x2y247．（福建理科21）如图、椭圆2?2?1(a?b?0)的一个焦点是F（1，0），O为坐标
ab原点.
y A F O B
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
x l （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有
OA?OB?AB,求a的取值范围.
【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整
合思想，考查运算能力和综合解题能力.
解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，所以OF?2223MN, 2 即1＝32b?,解得b＝3. 232x2y2??1. a?b?1?4,因此，椭圆方程为432 (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，
OA?OB?2a2,AB?4a2(a2?1),因此，恒有OA?OB?AB.
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，
222222x2y2 设直线AB的方程为：x?my?1,代入2?2?1,
ab 整理得(a?bm)y?2bmy?b?ab?0,
222222222b2mb2?a2b2,y1y2?2 所以y1?y2?2
a?b2m2a?b2m2 因为恒有OA?OB?AB，所以?AOB恒为钝角.
222???????? 即OA?OB?(x1,y1)?(x2,y2)?x1x2?y1y2?0恒成立.
x1x2?y1y2?(my1?1)(my2?1)?y1y2?(m2?1)y1y2?m(y1?y2)?1
(m2?1)(b2?a2b2)2b2m2??2?122222a?bma?bm 2222222?mab?b?ab?a??0.a2?b2m2又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m?R恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m?R恒成立.
当m?R时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0.
a20,b>0,所以a
解法二：
（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，
1y2b2(a2?1)2x=1代入2?2?1,yA?=1. 2abaa2?1因为恒有|OA|+|OB|<|AB|,2(1+yA)<4 yA yA>1，即>1,
a2
2
2
2
2,
2
解得a>1?51?51?5或a<(舍去)，即a>. 222（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.
x2y2设直线AB的方程为y=k(x-1)代入2?2?1,
ab得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
2a2k2a2k2?a2b2故x1+x2=,x2x2?2.
b2?a2k2b?a2k2因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
a2k2?a2b22a2k2(a2?a2b2?b2)k2?a2b222?k2?k?=(1+k)2. 2222222b?akb?akb?ak2
由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对k?R恒成立.
①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意； ②当a2- a2 b2+b2=0时，a=1?5; 2③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0, 解得a2>
3?53?51?51?5或a2>（舍去），a>，因此a?. 2222综合（i）（ii），a的取值范围为（
1?5，+?）. 248．（辽宁理科20）在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,?3),(0,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y?kx?1与C交于A,B两点. （Ⅰ）写出C的方程;
????????（Ⅱ）若OA?OB,求k的值;
????????（Ⅲ）若点A在第一象限,证明:当k?0时,恒有OA?OB.
（辽宁文科21）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4．设点P的轨迹为C． (Ⅰ)写出C的方程；
(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点，.k为何值时OA?OB?此时|AB|的值是多少？ 【解析】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知
识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,?3),(0,3)为焦长，长
半轴为2的椭圆.它的短半轴b?222?(3)2?1,
y2?1． ??3分 故曲线C的方程为x?4 （Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足
?2y2?x??1, ? 4??y?kx?1. 消去y并整理得(k?4)x?2kx 3.0，
222k3,xx??. ??5分 1222k?4k?4???????? 若OA?OB,即x1x2?y1y2?0.
故x1?x2?33k22k2?2?2?1?0, 面x1x2?y1y2??2k?4k?4k?42 化简得?4k?1?0,所以k??. ??8分
12????2????22222 （Ⅲ）OA?OB?x1?y1;(x2?y2)
2222 ＝(x1?x2)?4(1?x2?1?x2)
＝?3(x1?x2)(x1?x2) ＝
6k(x1?x2).
k2?43知x2?0,从而x1?x2?0.又k?0, 2k?4 因为A在第一象限，故x1＞0.由x1x2?????2????2 故OA?OB?0,
???????? 即在题设条件下，恒有OA?OB. ??12分
文（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足
?2y2?1，?x? 4??y?kx?1.?消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0， 故x1?x2??????????OA?OB，即x1x2?y1y2?0．
2k3，xx??． ················································································· 6分 1222k?4k?4而y1y2?k2x1x2?k(x1?x2)?1，
33k22k2?4k2?1???1?2于是x1x2?y1y2??2． k?4k2?4k2?4k?4????????1所以k??时，x1x2?y1y2?0，故OA?OB． ································································ 8分
21412当k??时，x1?x2??，x1x2??．
21717?????AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)(x2?x1)2，
而(x2?x1)?(x2?x1)?4x1x2
22424?343?13?2?4??， 2171717?????465所以AB?． ················································································································· 12分
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