0)和N(2，0)是平面上的两点，动点P满足：49．（重庆理科21）如图（21）图，M(?2，PM?PN?6.
y P
y P M O N 答(21)图 M(－2,0) ON(2,0) x （21）图 x （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
PN＝（Ⅱ）若PM·2,求点P的坐标.
1?cosMPN解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=a2?c2?5，
x2y2??1. 所以椭圆的方程为95 (Ⅱ)由PM?PN?2,得
1?cosMPN PM?PNcosMPN?PM?PN?2. ①
因为cosMPN?1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN
中，MN?4,由余弦定理有
MN2?PM?PN?2PM?PNcosMPN. ②
22 将①代入②，得
2 4?PM2?PN?2(PM?PN?2).
2x2?y2?1上. 故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线3x2y2??1，所以 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足95?33x??,22???5x?9y?45,?2 由方程组?2 解得? 2??x?3y?3.?y??5.??2 即P点坐标为
(335335335335,)、（，-）、（-，）或（?，-）. 2222222250．（全国Ⅱ理科21文科22）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直
线
y?kx(k?0)与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点.
(Ⅰ)若 ED?6DF,求k的值； (Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.
x2?y2?1， （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4直线AB，EF的方程分别为x?2y?2，y?kx(k?0)． ······································ 2分 如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1?x2， 且x1，x2满足方程(1?4k)x?4， 故x2??x1?22y B O E F D A x 21?4k2．①
????????1510由ED?6DF知x0?x1?6(x2?x0)，得x0?(6x2?x1)?x2?；
27771?4k由D在AB上知x0?2kx0?2，得x0?所以
2． 1?2k210， ?21?2k71?4k2化简得24k?25k?6?0，
23或k?． ····································································································· 6分 38（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
解得k?h1?x1?2kx1?25?2(1?2k?1?4k2)5(1?4k)2，
h2?x2?2kx2?25?2(1?2k?1?4k2)5(1?4k)2．························································· 9分
又AB?22?1?5，所以四边形AEBF的面积为
1S?AB(h1?h2)214(1?2k)??5?25(1?4k2)?2(1?2k)1?4k21?4k2?4k?21?4k2≤22，
当2k?1，即当k?1时，上式取等号．所以S的最大值为22． ················· 12分 2解法二：由题设，BO?1，AO?2．
设y1?kx1，y2?kx2，由①得x2?0，y2??y1?0， 故四边形AEBF的面积为
S?S△BEF?S△AEF
··············································································································· 9分 ?x2?2y2 ·
2222?(x2?2y2)2?x2?4y2?4x2y2≤2(x2?4y2)?22，
当x2?2y2时，上式取等号．所以S的最大值为22． ···································· 12分
x2y251．（福建文科22）如图，椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，
ab0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x?4与x轴交 于点N，直线AF与BN交于点M． （ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上； （ⅱ）求△AMN面积的最大值．
【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分． 解法一：
（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,
x2y2??1. 所以椭圆C前方程为43(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).
m2n2?设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ??① 43AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0. ??n?x0?1???m?1?y0?0,??(2)设M(x0,y0),则有?
nx?4?m?4y?0,??(3)?????00?由②，③得x0=
5m?83n,y0?.
2m?52m?522x0y0(5m?8)23n2(5m?8)23n2由于?????222434(2m?5)(2m?5)4(2m?5)(2m?5)2?(5m?8)?12n(5m?8)?36?9m??14(2m?5)24(2m?5)22222
所以点M恒在椭圆G上.
x2y2?(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0. 43设A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2=
2?6x?9,yy?. 123x2?43t2?443·3t2?3|y1-y2|=(y1?y2)?4y1y2?. 23t?4令3t2+4=λ(λ≥4),则 |y1-y2|＝
43· ?－1?11211131 ＝43－（）＋＝43－（－）＋，???24因为λ≥4，0<
111≤,所以当＝，即?＝4，t?0时， ?4?4339y1?y2?y1?y2有最大值. 222|y1-y2|有最大值3，此时AM过点F. △AMN的面积S△AMN=FN·y1?y2?解法二：
（Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).
m2n2??1. ??① 设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), 43AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0, ??② n(x-4)-(m-4)y=0, ??③ 由②，③得：当≠时，m?525x?83y,n?. ??④ 2x?52x?5x2y2?由④代入①，得=1（y≠0）. 43?3n?(m?1)y?0?5?2当x＝时，由②，③得：?
2??3n?(m?4)y?0,??2?n?0,解得?与a≠0矛盾.
y?0,?x2x2??1(y?0),即点M恒在椭圆C上. 所以点M的轨迹方程为
43（Ⅱ）同解法一.
52．（山东文科22）已知曲线C1：?xay?1(a?b?0)所围成的封闭图形的面积为45，b曲线C1的内切圆半径为25．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆． 3（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中
心的点．
（1）若MO??OA（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
?2ab?45??x2y2?a?5??1．解：（Ⅰ）由题意得?，椭圆C2的标准方程为 ab25??54???b?2?223?a?b（Ⅱ）（1）设M（x，y），A（x0，y0），
22则由MO??OA得x2?y2??2(x0?y0)．???????????①
由于l⊥线段AB，M∈l且M异于椭圆中心，得x0x?y0y?0．??②
22x0y0??1．?????????③ 因为点A在椭圆C2上运动，所以54x2y2??1，即为所求点M的轨迹方程． 由①②③消去x0，y0得
4?25?2