?0，
3k2??1??0，??3?k2?0，解得k??2．
416????????即存在k??2，使NA?NB?0．
65.（天津理21文22）（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(?3，0)，一条渐近线的方程是5x?2y?0． （Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k(k?0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
81，求k的取值范围． 221.．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．
x2y2（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为2?2?1(a?0，b?0)，由题设得
ab?a2?b2?9，2???a?4， 解得?2 ?b5.????b?5.2?ax2y2??1． 所以双曲线C的方程为
45（Ⅱ）解：设直线l的方程为y?kx?m(k?0)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组
①?y?kx?m，?2 ?xy2?1. ②??45?x2(kx?m)2??1，整理得 将①式代入②式，得45(5?4k2)x2?8kmx?4m2?20?0．
此方程有两个不等实根，于是5?4k?0，且
2??(?8km)2?4(5?4k2)(4m2?20)?0．整理得
m2?5?4k2?0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足
x1?x24km5m?y?kx?m?，． 002225?4k5?4k从而线段MN的垂直平分线的方程为 x0?y?5m1?4km???x???．
5?4k2k?5?4k2?9m??9km??，．由题设可得 ，00，??22??5?4k??5?4k?此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为?19km9m81． ??25?4k25?4k22整理得
(5?4k2)2，k?0． m?k2(5?4k2)2将上式代入③式得?5?4k2?0，
k整理得
(4k2?5)(4k2?k?5)?0，k?0．
解得0?k?55或k?．
42?所以k的取值范围是??∞，??5??5??5??5???，0?0，?，∞????????． ????4??2??2??4?66.（湖南理20）（本小题满分13分）
若A，B是抛物线y?4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相
20)存在无穷多条交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x?2时，点P(x，“相关弦”．给定x0?2．
（Ⅰ）证明：点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
（Ⅱ）试问：点P(x0，0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用；若不存在，请说明理由． x0表示）
20．解：（I）设AB为点P(x0，，且点A，B的坐标分别是（x1，y1），0)的任意一条“相关弦”
22（x2，y2）（x1?x2），则y1?4x1，，y?4x， 22两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）．因为x1?x2，所以y1+y2?0． 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm， ym），则
k?y1?y242． ??x1?x2y1?y2ymym(x?xm)． 2从而AB的垂直平分线l的方程为 y?ym??又点P(x0，0)在直线l上，所以?ym?而ym?0，于是xm?x0?2．
ym(x0?xm)． 2故点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0?2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是y?ym?k(x?xm)，代入y?4x中， 整理得k2x2?2[k(ym?kxm)?2]x?(ym?kxm)2?0． （*）
2(ym?kxm)2则x1，x2是方程（*）的两个实根，且x1?x2?． 2k设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
l2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2
222???(1?k2)x(?x?)x4x??4k(1x)?(xx121212m??2????2?xm???ym?ym???4??2? ?4?1?2??xm? ?4ym????2ym????2?(4?ym)(4xm?ym2)??ym4?4ym(2xm?1)?16xm2)222???4(xm?1)2??y?2(x?1)?4(x?1)?ymm0m????2(x0?3)??．
22因为0?ym?4xm?4(x0?2)?4x0?8，于是设t?ym，则t?(0，4x0?8)． 22记l?g(t)???t?2(x0?3)??4(x0?1)．
22若x0?3，则2(x0?3)?(0，4x0?8)，所以当t?2(x0?3)，即ym?2(x0?3)时， l有最大值2(x0?1)．
若2?x0≤3，则2(x0?3)≤0，g(t)在区间(0，4x0?8)上是减函数，所以
20?l2?16(x0?2)，l不存在最大值．
综上所述，当x0?3时，点P(x0，“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2(x0?1)；0)的当2?x0≤3时，点P(x0，0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值．
67.（上海文20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
x22已知双曲线C：?y?1．
2（1）求双曲线C的渐近线方程；
1)．设p是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点． （2）已知点M的坐标为(0，?????????记??MP?MQ．求?的取值范围；
?1)，，(2?1)，，(01)，P为双曲线C上在第一象限（3）已知点D，E，M的坐标分别为(?2，内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数． 20．解：（1）所求渐近线方程为y?22······································ 3分 x?0，y?x?0． ·
22（2）设P的坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(?x0，··············································· 4分 ?y0)． ·
???????????MP?MQ?(x0，y0?1)?(?x0，?y0?1)
3222??x0?y0?1??x0?2． ···································································································· 7分
2?x0≥2，
??的取值范围是???，································································································· 9分 ?1?． ·
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点， 则直线l的斜率k??0，???2?． ································································································ 11分 ??2?21?k2； 21?k由计算可得，当k??0，?时，s(k)???1?2?当k??，?12?2k?121?k时，s(k)?． ······································································ 15分 ?2?22?k?k??1?221?k， 0?k≤，2?1?k2? ·········· 16分 ?s表示为直线l的斜率k的函数是s(k)???2k?11?k2， 1?k?2．?22?k?k268.（重庆文21）．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
0)和N(2，0)是平面上的两点，动点P满足：PM?PN?2． 如题（21）图，M(?2，（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设d为点P到直线l：x?
PM12PM?2PN的距离，若，求的值．
2dy l：x?P 1 2x M(?2，0)O 题21图 N(2，0)
21．（本小题12分）
解：（Ⅰ）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长2a?2的双曲线． 因此半焦距c?2，实半轴a?1，从而虚半轴b?3，
y2?1． 所以双曲线的方程为x?32（Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）及答（21）图，易知PN2≥1，因PM?2PN，①
知PM?PN，故P为双曲线右支上的点，所以PM?PN?2．② 将②代入①，得2PN?PN?2?0，
y 解得PN?21?171?17，舍去， 44M O l d P N x 1?17所以PN?．
4c因为双曲线的离心率e??2，
a1直线l：x?是双曲线的右准线，
2答（21）图