而原点O到直线l的距离d?21?k2，
?S△OEF2112223?k22223?k?d?EF???1?k??． 22221?k21?k1?k若S△OEF223?k242?22?k?k?2?0，解得k??2． ?22，即21?k满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y?2x?2和y??2x?2 解法2：依题意，可设直线l的方程为y?kx?2，代入双曲线C的方程并整理， 得(1?k2)x2?4kx?6?0． ①
?直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，
2???1?k?0，?k??1，???? 22???3?k?3．???(?4k)?4?6(1?k)?0，??k?(?3，?1)?(?11)，?(1，3)．②
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得
?223?k2x1?x2?(x1?x2)?4x1x2??．③ 221?k1?k2
y Q y E Q x F x Ｆ1 E O Ｆ2 F 图1 Ｆ1 O Ｆ2 图2 当E，F在同一支上时（如图1所示），
S△OEF?S△OQF?S△OQE?11OQ?x1?x2?OQ?x1?x2； 22当E，F在不同支上时（如图2所示），
S△OEF?S△OQF?S△OQE?综上得S△OEF?得S△OEF11OQ?(x1?x2)?OQ?x1?x2． 221OQ?x1?x2，于是由OQ?2及③式， 2223?k2?． 21?k若S△OEF223?k242?22?k?k?2?0， ?22，即21?k解得k??2，满足②．
故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y?2x?2和y??2x?2． 60.(湖北理19)（本小题满分13分）
如图，在以点O为圆心，AB?4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C是满足MA?MB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P． （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F． 若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围．
A D P O B 19．本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力．（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
0)，B(2，0)，D(0，2)，P(31)则A(?2，，，依题意得 MA?MB?PA?PB
2?12＝22＜｜AB｜＝4． ?(2?3)2?12?（2?3）∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c＝2，2a＝22，∴a2=2，b?c?a?2．
222x2y2??1． ∴曲线C的方程为22解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得
MA?MB?PA?PB?AB?4．
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
x2y2设双曲线的方程为2?2?1(a＞0，b＞0）．
ab?(3)212?2?2?1，则由?a解得a2=b2=2， b?a2?b2?4．?x2y2??1． ∴曲线C的方程为
22
y D P A E F 图1 图2 O B x A O E y D F P B x （Ⅱ）解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得
(1?k2)x2?4kx?6?0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
2???1?k?0，?k??1，???? 22???3?k?3．???(?4k)?4?6(1?k)?0，??k?(?3，?1)?(?11)，?(1，3)．
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1+x2=
2224k6xx??，，于是 121?k21?k22｜EF｜＝(x1?x2)?(y1?y2)?(1?k)(x1?x2)
223?k2?1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k? 21?k222而原点O到直线l的距离d?21?k2，
?S△OEF2112223?k22223?k?d?EF???1?k??． 22221?k21?k1?k若△OEF面积不小于22，即S△OEF≥22，则有
223?k242≥22?k?k?2≤0 ，解得?2≤k≤2． ③ 21?k?1?(?11)，?1，2?． 综合②，③知，直线l的斜率的取值范围为??2，??解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得(1?k)x?4kx?6?0． ①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
22??2??1?k?0，? ∴ ?22????(?4k)?4?6(1?k)?0，??k??1， ????3?k?3．∴k?(?3，?1)?(?11)，?(1，3)．② 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得
?223?k2x1?x2?(x1?x2)?4x1x2?? ③ 221?k1?k2当E、F在同一支上时（如图1所示），
S△OEF?S?ODF?S?ODE?11OD?x1?x2?OD?x1?x2； 2211OD?(x1?x2)?OD?x1?x2． 22当E、F在不同支上时（如图2所示）．
S△OEF?S△ODF?S△ODE?综上得S△OEF?1OD?x1?x2，于是 2由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF223?k2?．
1?k2若△OEF面积不小于22，即S△OEF≥22，则有
223?k242≥22?k?k?2≤0，解得?2≤k≤2． ④ 21?k?1?(?11)，?1，2?． 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为??2，??61.(江西文22)（本小题满分14分）
2已知抛物线y?x和三个点M(x0，y0)，P(0，y0)，N(?x0，y0)(y0?x0，y0?0)，过点
2??M的一条直线交抛物线于A，B两点，AP，BP的延长线分别交抛物线于点E，F． （1）证明E，F，N三点共线；
（2）如果A，B，M，N四点共线，问：是否存在y0，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A，B的交点？如果存在，求出y0的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由．
y A F N M B P E O 22．（1）证明：设A(x1，x1)，B(x2，x2)，E(xE，yE)，F(xF，yF)，
22x
2x12?x2则直线AB的方程y?(x?x1)?x12，
x1?x2即y?(x1?x2)x?x1x2． 因为M(x0，y0)在AB上，
所以y0?(x1?x2)x0?x1x2 ①
x12?y0又直线AP方程：y?x?y0
x1?x12?y0x?y0x12?y0?y?2x1由?得x?x?y0?0
x1?x2?y?2x12?y0y0y0所以x1?x2??xE??，yE?2
x1x1x12y0y0同理，xF??，yF?2
x2x22?x1?x2?y0所以直线EF的方程：y??? ?y0x?xxxx?12?12令x??x0得y?y0[(x1?x2)x0?y0] x1x2将①代入上式得y?y0，即N点在直线EF上， 所以E，F，N三点共线．
（2）解：由已知A，B，M，N共线，有A(?y0，y0)，B(y0，y0)， 以AB为直径的圆方程：x2?(y?y0)2?y0
?x2?(y?y0)2?y0?22由?2得y?(2y0?1)y?y0?y0?0 ??x?y所以y?y0，y?y0?1．
要使圆与抛物线有异于A，B的交点，则y0?1≥0，
所以存在y0≥1，使以AB为直径的圆与抛物线有相异于A，B的交点T(xT，yT)．