则yT?y0?1，所以交点T到AB的距离为y0?yT?y0?(y0?1)?1．
62.(江西理21)（本小题满分12分）
0?m?1)上，过点P作双曲线x2?y2?1的两条切设点P(x0，y0)在直线x?m(y??m，线PA，PB，切点为A，B，定点M??1?，0?． ?m?（1） 过点A作直线x?y?0的垂线，垂足为N，试求△AMN的垂心G所在的曲线方 程；
（2） 求证：A，M，B三点共线．
y x=m N O P A x
21．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
222由已知得到y1y2?0，且x1?y12?1，x2?y2?1．
M B （1）垂线AN的方程为：y?y1??x?x1，
?y?y1??x?x1?x?y1x2?y2?由?得垂足N?1，?，
22x?y?0???设重心G(x，y)，
3?9x?3y??1?1x1?y1??mx?x??x1?1????3?m2???4所以?，解得?
1??y?1?y?0?x1?y1?9y?3x?1????m3?2??y1???42由x1?y12?1可得：?3x?3y???1??1?3x?3y?????2 m??m?1?2?2即?x?为重心G所在曲线方程． ?y??3m?9?（2）设切线PA的方程为：y?y1?k(x?x1)
2由??y?y1?k(x?x1)22?x?y?1得(1?k2)x2?2k(y1?kx1)x?(y1?kx1)2?1?0
从而??4k2(y1?kx1)2?4(1?k2)(y1?kx1)2?4(1?k2)?0． 解得k?
x1
． y1
因此PA的方程为：y1y?x1x?1 同理PB的方程为：y2y?x2x?1
又P(m，y1)在PA，PB上，所以y1y0?mx1?1，y2y0?mx2?1 即点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线y0y?mx?1上． 又M?
63.(浙江理20文22）（本题15分） 已知曲线C是到点P??，?和到直线y??等的点的轨迹．
?1?，0?也在直线y0y?mx?1上，所以A，M，B三点共线． ?m??13??28?5距离相8l是过点Q(?1，0)的直线，M是C上（不在l上）的动点；A，B在l上，MA?l，MB?x轴（如图）．
（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）求出直线l的方程，使得
y M B 为常数．
Q A l x O QA（第20题） 20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分． （Ⅰ）解：设N(x，y)为C上的点，则
QB21??3??|NP|??x????y??，
2??8??55N到直线y??的距离为y?．
88221??3?5?由题设得?x????y???y?．
2??8?8?22化简，得曲线C的方程为y?（Ⅱ）解法一：
12(x?x)． 2y Q O M B A ?x2?x?设M?x，?，直线l:y?kx?k，则
2??B(x，kx?k)，从而|QB|?1?k|x?1|．
在Rt△QMA中，因为
2l x ?x2?|QM|?(x?1)?1??，
4??22x??(x?1)?k??2??|MA|2?． 21?k22(x?1)22所以|QA|?|QM|?|MA|? . (kx?2)24(1?k)222|QA|?|x?1|?|kx?2|21?k2，
|QB|22(1?k2)1?k2x?1． ??2|QA||k|x?k|QB|2当k?2时，?55，
|QA|从而所求直线l方程为2x?y?2?0．
?x2?x?解法二：设M?x，?，直线l:y?kx?k，则B(x，kx?k)，从而
2??|QB|?1?k2|x?1|．
，0)垂直于l的直线l1:y??过Q(?1因为|QA|?|MH|，所以|QA|?1(x?1)． k，
l1 H Q O y M B A l x |x?1|?|kx?2|21?k2|QB|22(1?k2)1?k2x?1． ??2|QA||k|x?k|QB|2当k?2时，?55，
|QA|从而所求直线l方程为2x?y?2?0． 64.（陕西理20文21）（本小题满分12分）
已知抛物线C：y?2x2，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
????????（Ⅱ）是否存在实数k使NA?NB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
20．解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x22)，把y?kx?2代入y?2x2得
2x2?kx?2?0，
由韦达定理得x1?x2?k，x1x2??1， 2??． ?y M 2 B 1 N O 1 A ?kk2x1?x2k?，?N点的坐标为?，?xN?xM?24?48x k2k??设抛物线在点N处的切线l的方程为y??m?x??，
84??mkk2??0， 将y?2x代入上式得2x?mx?4822?直线l与抛物线C相切，
?mkk2????m?8????m2?2mk?k2?(m?k)2?0，?m?k．
8??42即l∥AB．
????????（Ⅱ）假设存在实数k，使NA?NB?0，则NA?NB，又?M是AB的中点，
?|MN|?1|AB|． 2111由（Ⅰ）知yM?(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4]
222?k21?k2???4???2． 2?2?4k2k2k2?16?MN?x轴，?|MN|?|yM?yN|??2??．
488|x1?x2|?1?k?(x1?x2)?4x1x2 又|AB|?1?k?2221?k?(1?)k2??1k2? ?1?k????4??2?2?221 6．k2?1612??k?1?k2?16，解得k??2．
84????????即存在k??2，使NA?NB?0．
2解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x得
2k2x2?kx?2?0．由韦达定理得x1?x2?，x1x2??1．
2?kk2x1?x2k?，?N点的坐标为?，?xN?xM?24?48?2?．?y?2x，?y??4x， ??抛物线在点N处的切线l的斜率为4?k?k，?l∥AB． 4????????（Ⅱ）假设存在实数k，使NA?NB?0．
???????kk2????kk2?22由（Ⅰ）知NA??x1?，2x1??，NB??x2?，2x2??，则
4848?????????????k??k??2k2??2k2?NA?NB??x1???x2????2x1???2x2??
4??4??8??8??k??k??2k2??2k2????x1???x2???4?x1???x2??
4??4??16??16??k??k??k??k??????x1???x2????1?4?x1???x2???
4??4??4??4?????kk2??k2???x1x2??x1?x2?????1?4x1x2?k(x1?x2)??
416??4???kkk2??kk2????1??????1?4?(?1)?k???
4216??24???k2??3????1????3?k2?
16??4??