（2）因为S?AMB?1?AB?OM?OA?OM 22222?x0?y0?x2?y2?(x0?y0)(x2?y2) ?x2?y2?，
?x2y2??1?202?5422(??1)． 又点M坐标同时满足?，所以x?y?229?x?y?1??4?25?2于是S?AMB“＝”．
所以△AMB的面积的最小值为
53．（四川理科21）设椭圆右准
120(?2?1)20140??(??)≥，当且仅当??即??1时取
?9?9?940． 9x2y2右焦点分别为F离心率e?2，?2?1 (a?b?0)的左、1、F2，2ab2??????????线为l，M、N是l上的两个动点，FM ?F2N?0．1??????????（Ⅰ）若|FM|?|F2N|?25，求a、b的值； 1????????????????????（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，FM?F2N与F1F2共1线．
解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．
2（Ⅰ）由已知，F1(?c,0)，F2(c,0)．由e?2，c?1，
22a2∴a?2c．又a2?b2?c2，∴b2?c2，a2?2b2． ∴l：x?a?2c?2c，M(2c,y1)，N(2c,y2)．
cc2222延长NF2交MF1于P，记右准线l交x轴于Q． ∵FM?F2N?0，∴FM?F2N．F1M?F2N 11由平几知识易证Rt?MQF1≌Rt?F2QN
∴QN?FQ?3c，QM?F2Q?c即y1?c，y2?3c． 1∵F1M?F2N?25，
∴9c2?c2?20，c2?2，b2?2，a2?4． ∴a?2，b?2．
??????????（Ⅰ）另解：∵FM?FN?0，∴(3c,y1)?(c,y2)?0，y1y2??3c2?0． 12又F1M?F2N?25 ?y1y2??3c2联立?22，消去y1、y2得：(20?9c2)(20?c2)?9c2，
?9c?y1?20?22?c?y2?20????????????????????????????????????????整理得：9c4?209c2?400?0，(c2?2)(9c2?200)?0．解得c2?2． 但解此方程组要考倒不少人． ??????????（Ⅱ）∵FM?FN?(3c,y1)?(c,y2)?0，∴y1y2??3c2?0． 12?????22MN?y1?y2?y12?y22?2y1y2．
≥?2y1y2?2y1y2??4y1y2?12c2?????当且仅当y1??y2?3c或y2??y1?3c时，取等号．此时MN取最小值23c．
???????????????此时FM． ?FN?(3c,?3c)?(c,?3c)?(4c,0)?2FF1212???????????????∴FM与共线． ?FNFF1212??????????（Ⅱ）另解：∵FM?F2N?0，∴(3c,y1)?(c,y2)?0，y1y2??3c2． 1设MF1，NF2的斜率分别为k，?1．
k1?y?k(x?c)由?，由y??(x?c)c??y?3kc?1?y??k?2?x?2ck??x?2c?????1． MN?y1?y2?c?3k?≥23ck
?3， 当且仅当3k?1即k2?1，k??3时取等号．即当????MN最小时，k?????????????????此时F1M?F2N?(3c,3kc)?(c,?c) ?(3c,?3c)?(c,?3c)?(4c,0)?2F1F2.
k???????????????∴FM?F2N与F1F2共线． 1k333点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．
x2y254．（四川文科22）设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1和F2 ，离心率
ab2， e?2点F2到右准线l的距离为2. (Ⅰ)求a、b的值；
???????????(Ⅱ)设M、N是右准线l上两动点，满足F1M?F2M?0.
证明：当MN.取最小值时，F2F1?F2M?F2N?0.
?????????????????????ca2?c,所以由题设得 解：（1）因为e?,F2到l的距离d?ac?c2?,??a2 ? 2?a?c?2??c 解得 c?2222,a?2.
2.
由b?a?c?2,得b?(Ⅱ)由c?2,a=2得F1(?2,0),F2(2,0).l的方程为x?22. 故可设M(22,y1),N(22,y2).
??????????由F1M?F2M?0知
2(2?2,y1)(22?2,y2)?0,
得y1y2＝－6,所以y1y2?0,y2??6, y1?????66|MN|?|y1?y2|?|y1?|?|y1|?≥26.
y2|y1|当且仅当y1??6时，上式取等号，此时y2＝－y1,
???????????????所以，F2F1?F2M?F2N?(?22,0)?(2,y1)?(2,y2)=（0，y1+y2）=0.
x2y255．（安徽理科22）设椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点M(2,1)，且左焦点为
abF1(?2,0)
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，
????????????????满足AP?QB?AQ?PB，证明：点Q总在某定直线上．
解（Ⅰ）由题意：
?c2?2?x2y2?2122??1． ?2?2?1 ，解得a?4,b?2，所求椭圆方程为
ab42?222??c?a?b（Ⅱ）方法一
设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)．
????????APAQ????????????????由题设知AP,PB,AQ,QB均不为零，记???????????,则??0且??1．
PBQB????????????????又A，P，B，Q四点共线，从而AP???PB,AQ??QB．
于是 4?x1??x2y??y2， 1?1
1??1?? x?从而
x1??x2y??y2， y?1
1??1??22x12??2x2y12??2y2?4x，??（1） ?y，??（2） 221??1??又点A、B在椭圆C上，即
222 x1?2y12?4,??(3) x2?2y2?4,??(4)
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4s?2y?4， 即点Q(x,y)总在定直线2x?y?2?0上． 方法二
????????????????设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设，PA,PB,AQ,QB均不为零，
????????PAPB且 ?????????．
AQQB????????????????又 P,A,Q,B四点共线，可设PA???AQ,PB??BQ(??0,?1),于是
4??x1??y,y1? （1） 1??1??4??x1??y,y2? x2? （2） 1??1?? x1?由于A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程x?2y?4,整理得
22(x2?2y2?4)?2?4(2x?y?2)??14?0 （3） (x2?2y2?4)?2?4(2x?y?2)??14?0 (4)
(4)－(3) 得 8(2x?y?2)??0，
∵??0,∴2x?y?2?0，
即点Q(x,y)总在定直线2x?y?2?0上．
x2y256．（安徽文科22）已知椭圆C:2?2?1(a＞b＞0)，其相应于焦点F(2，0)的准线方程
ab为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F1(－2,0)倾斜角为?的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：AB?42 ；22?cos?的
（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求AB?DE最小值．
?c?2?c?2??2222解：（Ⅰ）由已知得?a2，又a?b?c，所以b?4． ???a?22??4??cx2y2??1． 故所求椭圆C的方程为84（Ⅱ）设直线AB方程为y?tan?(x?2)，
x2y2??1得(1?2tan2?)x2?8xtan2??8(tan2??1)?0． 代入椭圆C的方程84设
点
A
、
B
的
坐
标
分
别
为
(x1,y1),(x2,y2)，则
8tan2?8tan2??8x1?x2??,x1?x2?．
1?2tan2?1?2tan2?于是AB?1?tan??(x1?x2)?4x1?x2 2264tan4??4?8(tan2??1)(1?2tan2?) ?1?tan??22(1?2tan?)242(1?tan2?)42(cos2??sin2?)42???，得证．
1?2tan2?cos2??2sin2?2?cos2?42(1?tan2?)42(tan2??1)（Ⅲ）由（Ⅱ）AB?，因为AB?DE，所以DE?． 221?2tan?tan??2
因此AB?DE?42(1?tan?)?211???? 22?1?2tan?tan??2?122 2tan?2?tan4??2tan2??1122(tan4??2tan2??1)??422tan??5tan??2