求极值：
?p?n??2E?e?n??s?n?1???0 ?a?n??p?n??2E?e?n??x?n???0 ?b?n?在最小均方值条件下，可以推得： a?n??a??1?c?b?n?? p?n??12??w?b?n? cca2p?n?1???v2 b?n??2 2222?w?c?v?cap?n?1? 通过上述递推公式，就可以根据当前输入和过去输出得到当前输出的最佳估计值。
例：设 a?0.6 c?1
2?w?0.5 ?v2?0.25
?? 初始条件：s?0??0 p?0??1 第1个测量值为x?1? 根据滤波器模型，估计值 s?n??a?n??s?n?1??b?n??x?n? s?1??a?1??s?0??b?1??x?1??b?1??x?1?
?v2112????p1???b1? b?1??2 ?w26?w??v30.36?p?0???v210.61??p1??b?1??0.27 b?1??2 ??0.5522?w??v?0.36p?0?1.110.36?p?1???v210.35??p2??b?2??0.21 b?2??2 ??0.4122?w??v?0.36p?1?0.850.36?p?2???v210.33??p3??b?3??0.20 b?3??2 ??0.4022?w??v?0.36p?2?0.830.36?p?3???v20.32 b?4??2??0.39 p?4??p?3? 2?w??v?0.36p?3?0.821??0.4 a?2??0.37 a?n?3??0.37 a?n??0,6??1?b?n?? a? 递推到此为止，已经得到全部时变滤波器的系数序列表达。
当缺少对均方误差的初始设定时，也可以直接根据极值条件求b?1?：
?p?n??2E?e?n??x?n???0 ?b?n?E??s?1??b?1???s?1??w?1?????s?1??w?1????0
?s2 ??b?1????????0 b?1??22?s??w2s2s2w考虑到 s?n??a?s?n??v?n?
?s2??ss?0??E?s?n??s?n???a2?s2??v2
?2s??v21?a2?1.56??v2
0.391?0.44 p?1??b?1??0.22 0.892对于本例题， b?1??递推可得：
0.36?p?1???v210.33??p2?b?2??0.20 b?2??2??0.4022?w??v?0.36p?1?0.830.36?p?2???v210.32??p2?b?2??0.20 b?3??2??0.3922?w??v?0.36p?2?0.82后续： b?n?3??b?3?
a?n??0,6??1?b?n?? a?1??0.34 a?2??0.22 a?n?3??0.22 递推到此为止，已经得到全部时变滤波器的系数序列表达。
由上述例子可以看出，只要信号模型中系数确定，则初始值的设定不会影响暂态时间之后的滤波器系数。
一维卡尔曼预测
滤波方程由当前测量值和过去估计值得出当前估计值：
s?n??a?n??s?n?1??b?n??x?n?
而预测方程则希望由当前测量值和当前估计值得出将来估计值：
s?n?1??a?n??s?n??b?n??x?n? 仿照之前推导，可以得出：
a?n??a?c?b?n? p?n?1??b?n??
多维或多阶卡尔曼滤波
a2??w?b?n???v2 ca?c?p?n? 22c?p?n???w 将信号模型表达为矢量形式，将上述推导得到的关系式表达为矢量方程，就可以得到多维或多阶卡尔曼滤波方程，实现对非平稳时变信号的最佳滤波处理。
第九章作业
1 两个信号序列分别为x1?n??1?1,2,3,2,1?，x2?n??1?1,?2,3,?2,1? 44分别写出这2个信号的自相关序列和互相关序列，并画出3个序列的图形。
2 利用上述2个信号序列，估计噪声方差，并由此设计自适应滤波系统。
2a?0.8c?1?w?0.8?v2?0.23 一阶卡尔曼滤波设计中，若初始条件为 a?0.62c?1?w?0.9?v2?0.3
推导出系数序列a?n?和b?n?。
第十章 变采样系统
本章主要讨论提高数字系统的效率的方法。
基本原理：
信号带宽决定采样率；信号在处理过程中，带宽可能变换；根据带宽及时调整采样率可以提高系统效率（存储、处理、传输）
信号抽取（下采样）：M个数据中抽取1个；
数据量减少为1/M；频谱出现周期复制，数字频谱扩张M倍； 频谱的变化：设抽取前频谱为Xej?，抽取后频谱为Xdej?
抽取导致采样频率下降，频域出现更多的频谱复制点，相当与将原频谱进行M次平移复制叠加：
Xde??????j?1?MM?12???j????m??X?e?M?? ???m?0??若考虑数字频谱的归一化，则原频谱进行了扩展：???/M Xde??j?1?MM?1?2???j???m??X?e?MM?? ???m?0?? 需要抗混叠滤波：抽取滤波器，低通、截止频率为?/M； 若采用N阶FIR系统 ： y?n???x?n?k?h?k?
k?0N?1 考虑到抽取，该滤波器运算量仅为正常运算量的1/M；
信号插值（上采样）：每2个数据间加入M-1个0；
数据量增加为M倍；数字频谱压缩为1/M，标准频率区间中出现镜像频谱； 频谱的变化：设插值前频谱为Xe??，插值后频谱为X?e?
j?j?d 未改变测试数据（频谱不变），但改变了采样频率：采样频率增大，数字频谱压缩
Xdej??Xej?M
需要抗镜像滤波：插值滤波器，低通、截止频率为?/M； 若采用N阶FIR系统 ： y?n???????x?n?k?h?k?
k?0N?1 考虑到M个输入数据中只有一个不为0，该滤波器运算量仅为正常运算量的1/M；
分数倍变采样：先插值，后抽取；
变采样在滤波器设计中的应用：
模拟抗混叠滤波的数字化：
设计低阶模拟系统，允许大范围混叠（注意保护核心区域）； 利用过采样，形成稀疏的镜像频谱和混叠区； 设计数字滤波器消除混叠；
进行抽取，实现密集镜像频谱，减少数据量。
窄带FIR滤波器的实现：
若带宽为标准频谱的1/M，则可以利用抽取滤波器实现，运算量和数据量减少，效率提高。
宽带窄过渡FIR滤波器的实现：频率掩蔽法
设计截止频率为pi/2的宽过渡低通滤波器和其互补滤波器； 利用内插进行压缩，得到周期性频谱；
再通过宽过渡低通滤波器对周期性频谱进行选取，满足设计要求；
临界抽取M通道滤波器组
将信号分解到M个等带宽子频带中进行处理： 例：MP3的编码方案 问题：数据量增加M倍；
解决方案：频带变窄，可以进行抽取；
临界抽取：进行M倍抽取，总数据量保持不变；
问题：采用非理想滤波器进行信号分离，必然存在混叠，导致信号失真； 解决：若混叠信号能够通过相位补偿消除，则临界抽取信号可以准确重建；
准确重建补偿条件与实施方案：
分解滤波器和重建滤波器采用抽取滤波器和插值滤波器实现：提高效率 恒等变换关系及证明：
滤波器的多相分解：
一个N阶FIR滤波器可以分解为M个N/M阶滤波器及一个延迟链构成 多相分解后，多相滤波器与抽取、插值可以交换；
准确重建条件：分解滤波器多相矩阵与重建滤波器多相矩阵乘积为带延迟的单位矩阵； E?z??R?z??z??I
例：Haar滤波器组的构成
变换法：以离散频率变换及反变换对应分解与重建； 以分段数据（分块）方式进行；
滤波器系数为变换因子，希望采用实变换；
变换对频率分量的增益可以通过添加放大器进行调整；
例：DCT，十通道形式 各子带滤波器系数 各子带频率特性 特点：
正变换与反变换之间必定满足准确重建条件；
以数据分块方式进行变换，需要考虑时间窗口对频谱的影响； 子带频率特性固定，无法调整。 需要考虑线性相位问题。