自适应信号处理
在通常的滤波器设计中，滤波器系数是与时间无关的，构成时不变系统；
然而，某些系统希望随着时间的变化，滤波器系数能够进行自动的调整，调整的目标是使设定的误差函数为最小。
递推算法与格式滤波
对比维纳滤波和线性预测，其系数的求解都依赖于线性方程组的求解：
维纳滤波：?xx?m???N2w??m????xx?m?k??h?k?k?02??w??m?N0?m?N
可以改写为：
???m?k??axxk?0Nk0?m?N
线性预测：?xx?m???ak?1NNk?xx?k?m??01?m?N
再考虑到最小误差表达：
2 ?e???N?xx?0???aNk?xx?k??mink?1N以上方程组可以表达为矩阵形式：Yule-Walker方程
??1????0????1???0? ??......????N???N?1?2??N??a???...??N?1?????N1???0?
......??...??...??????...??0???aNN???0??...??N???1? 对于N阶方程组，直接求解的运算量为N的3次方；采用递推算法可以有效减少运算量：
220阶： ??0??? ?01???0???0?
???0???1???1???12?1阶：????a????
?????1?0???1,1??0? a1,1????1?/??0?
?1???0??a1,1??1??1?a1,1???0?
22??2???0???1???2???1???2???????2阶：??1???0???1???a2,1???0?
????????2???1???0?????a2,2???0? a2,2a1,1??1????2??2?1????0????2? ???222?????0??1?1a2,2??1????1? a2,1????0??a1,1?a2,2a1,1
222 ?2?1?a2,2??1
??由上式可以看出，二阶参数的求解可以依赖于已求解的一阶参数； 类推可以得到由P-1阶参数求P阶参数的递推关系：
ap,p??k?1?p?1ap?1,k??p?k????p?2?p?1
ap,k?ap?1,k?ap,pap?1,p?k
22??p??1?a2??p,pp?1
采用此递推公式，可以从低阶预测关系推导高阶预测关系，同时能够根据所需要的预测误差控制预测阶数，有效减少运算量，提高运算效率。
乘法运算量为：
上述求解需要依赖信号的自相关序列?xx?m?；当时间序列较短时，该序列值的误差较大，影响系数计算精度；同时计算自相关序列需要使用较大的存储量和计算量。
将前述线性预测的误差表达称为P阶前向预测误差：
??k?4???p?4???p?1?/2 相比P的三次方大为减少。
k?0pe?n??x?n???apk?x?n?k?
?pk?1p设反射系数：Rp?ap,p 考虑到ap,k?ap?1,k?ap,pap?1,p?k 可以得到：
e?n??x?n???apk?x?n?k??Rpx?n?p??pp?1
k?1?x?n????ap?1,k?Rpap?1,k?1?x?n?k??Rpx?n?p?i?1p?1
??e?p?n??ep?1?n??Rpep?1?n?1?
其中后向预测误差为：
???e?n??x?n?p???apk?x?n?p?k??e?n?1?Rep?1pp?1?n? ?pk?1p?1类似可以得到：
??e?p?n??ep?1?n?1??Rpep?1?n?
意义：前向预测采用0时刻之前的采样值计算当前预测值；后向预测采用P时刻之后的采样值计算P时刻的预测值。
误差递推关系：
??????e?n?en?Repp?1pp?1?n?1? ??e?p?n??ep?1?n?1??Rpep?1?n? ??n??e0??n??x?n? e0由此可以建立格型滤波器如下：
该构架中，预测误差表现为各阶反射系数Ri的函数；选择最佳反射系数使前后向均方误差之和为最小：
22??????Ee?n?Een?0 pp?Rp?2?p?1?p?12? ?n??Rpe????n?1p?12? ?n?1??Rpe????np?1???????????????E??e 后向均方误差：E??e?n????E??e前向均方误差：Eep?n??p2可以得到：
Rp???
E??e?n????e?n?1????2Ee?p?1?n??ep?1?n?1??p?12?p?12?对于平稳随机信号，当测量值序列长度为N时，反射系数可以表达为：
?2?e?p?1?n??ep?1?n?1?N?1Rp??N?1n?pn?p???e?p?12??n??2??e????n?1p?1
?考虑到初始条件：e0?n??e0??n??x?n?，通过以上表达式，可以从低阶误差值推导出
高阶反射系数：
一阶：R1??N?1n?1n?12?x?n??x?n?1?
22N?1??x?n??x?n?1??e1??n??x?n??R1x?n?1? e1??n??x?n?1??R1x?n?
乘法数量：3N
二阶：Rp??N?1n?22?e1??n??e1??n?1?n?2?1N?1???e?n????e?n?1???2?12
??n??e1??n??R2e1??n?1? e2??n??e1??n?1??R1e1??n? e2乘法数量：3（N-1）
此方法的优点是不需要估算自相关序列，直接由信号测试值递推求解最佳滤波器系数，精度较高；进行P阶运算时，乘法运算量为：
NP?P/2
上述分析通过对全零点系统的分析建立了格型滤波器概念；格型滤波器不仅可以实现全零点系统，也可以实现全极点系统或零极点系统，在自适应系统设计中发挥重要作用。该类滤波器主要优点为：
2
卡尔曼滤波
在维纳滤波器和线性预测设计中，分别需要利用大量的输入数据或输出数据计算相应的自相关序列，通常需要使用大量的存储量与计算量。若采用递归运算，将输入与输出结合使用，则可以提高系统效率。
例如，在信号逐渐输入过程中的均值计算：
1n非递归计算：?n???xk 需要所有输入的参与
nk?1递归计算：?n?n?11??n?1?xn 只需要1个输入参与 nn由此可见，递归计算需要的存储量和计算量都大大减少，效率提高。
在涉及非平稳时变过程的处理时，希望避免维纳滤波中需要先计算信号的二阶统计特征的弊端；采用线性递推算法和状态空间概念，可以保证系统能够按照均方误差最小的最佳方式运行。
一维卡尔曼滤波器
设随机信号模型为 s?n??a?s?n?1??v?n?1? 观察测量值模型为 x?n??c?s?n??w?n?
信号当前估计值依赖于过去估计值和当前测量值： s?n??a?n??s?n?1??b?n??x?n? 上式中前一项表达基于以前估计值的加权预测，后一项表达基于当前测量值进行的加
权修正。
上述表达式中加权系数（滤波器系数）均为时变序列。
考虑误差函数：e?n??a?n??s?n?1??b?n??x?n??s?n? 则均方误差为：p?n??E?a?n??s?n?1??b?n??x?n??s?n??
2??