关于IIR系统与FIR系统的对比： 优势：设计效率高，成本低；
缺陷：不具备线性相位，存在色散失真。
第八章作业
1写出3dB截止频率为5kHz的3阶butterworth模拟低通滤波器的极点和系统函数。若设置通带插损和阻带衰减分别为1dB和40dB，该滤波器的通带截止频率和阻带截止频率分别为多少？
2 设置采样频率为上述阻带截止频率的2倍，利用冲激响应不变法，由以上滤波器得到截止频率为1的数字滤波器。
3 利用双线性变换法，由以上滤波器得到截止频率为1的数字滤波器。
第九章 自适应滤波系统
在前面频率选择系统的设计中，关注的信息所在的频段是已知的，只需要针对需要保留的信号频段进行通带设计，或针对需要去除的信号进行阻带设计。
然而，在信号检测的很多领域中，待测信号的频段未知，并且可能处于变化之中；同时微弱信号混杂于强大噪声之中。
本章不针对特定频段的信号，而是将注意力集中于信号与噪声的分离，尽可能从强大噪声背景之中提取信号的特征，弱化噪声的影响。
1 信号与噪声的区分
本章关注的信号中包含量信号与噪声。通常携带信息的信号体现出具有一定规律的变化；而噪声则是完全无规律的随机变化信号；带有噪声的信号也体现为随机信号。 信号可以表达为 x?n??s?n??w?n?
其中s?n?表达在每个时刻应该具有确定值的信号（具有规律），而w?n?则表达无规律随机变化的噪声。由于w?n?的影响，x?n?也会表现出随机变化的特征。
从测量值中消除噪声的最常见方式是通过多次测量获取平均值；由于噪声的最大特点为多
次测量的均值趋于0；若对特定时刻的信号值进行多次测量，则有可能消除噪声，确定信号值： ?x?E?xi??
若认为信号是确定不变的值，而噪声是随机变化的值，则在上述方案中，测量次数越多，结果就越准确。
然而实际工程中，测量需要时间，而信号在测量过程中也是变化的，通常不会保持为常数，采用上述测试难以取得好的效果。为了对随时间变化的信号进行处理，可以通过对信号和噪声各自相关性特征的分析，寻找信号与噪声的分离的方法。
设x?n?和y?n?为有限长度的信号序列，可以定义信号相关性特征的一些典型参数如下： 均值 ?x?E?x?n???11??x?s?w????ii??s NNN?NN?1N?x?n?
N互相关序列 ?xy?n,m??E?x?n??y?n?m???1?x?n??y?n?m? NN 自相关序列 ?xx?n,m??1x?n??x?n?m???xx?m? ?NN1?x?n??x?n? NN 均方值 ?xx?0??E?x?n??x?n???22 均方差 ?x ?E?x?n???x??Ex2?n???x2????注意，上述求和均为对序列所有不为零的项求和。
对于短序列信号，自相关序列可以采用简单方式进行；当信号序列很长时，可以通过计算机编程完成计算。
例：短序列信号的自相关计算
注意：自相关序列长于原始信号序列。
为了了解确定信号与噪声在相关性特征上的差别，提取了一段音频信号，与同样长度的一段标准噪声信号进行对比分析，由分析结果可以得到如下结果： 确定信号与噪声的互相关基本为0，表现出两者不相关； 信号的自相关表现为具有一定规律的序列； 噪声的自相关集中于0点，表现为冲激信号形式； 含噪声信号的自相关表现为信号和噪声自相关的叠加形式。
通过自相关分析，可以从含噪声信号的自相关中估计噪声方差的数值。但对信号的特点却难以具体表达；考虑到信息表达的直观方式是频谱表达，采用相关序列对应的频谱（功率谱）能够更明确表达信号的特征。
对含噪信号的自相关序列进行付氏变换，得到对应的频谱（功率谱） ：
Pxx??d??m????j?m2?????m?e?P????xxssdw
d?由该表达可以看到，从含噪声信号的功率谱中将表现为常数的噪声方差扣除，就可以直接得到信号的功率谱，从而了解信号的特征。这种方法称为经典谱分析方法。
经典谱分析方法存在的问题
需要提取有限长度的信号进行自相关序列的计算以及功率谱的计算。
在高速计算时，狭窄窗口的加窗效应会导致强烈的能量外泄，信号强度和分辨率受到严重影响，纹波效应也会使信号的判断受到干扰。
采用窗口修真方法可以有效消除纹波的影响，但会加重能量外泄的问题，同时还可能导致短时有效信息的丢失（例如窗边信号中包含的信息会受到严重削弱）；采用重叠分析法可以弥补这种影响，但会导致运算量倍增。
FIR最佳滤波（维纳滤波）
为了克服经典谱分析的缺点，希望设计一个信号处理系统，能够连续不断地对信号进行处理，弱化信号中的噪声。通过这种方式，将信号与噪声的分离归结于寻找一组系统系数，使输出信号中的噪声能够最小化。这种设计称为自适应滤波设计。
设输入信号为：x?n??s?n??w?n?；
通过一个FIR滤波器的输出信号表现为： y?n???h?k??x?n?k??s?n??e?n?
k希望设计FIR滤波器使e?n?最小化: wiener滤波器
设置均方误差为：Ee2?n? 该误差应该表现为滤波器系数h?n?的函数： e?n??s?n?????h?k??x?n?k?
k?? e2?n???s?n???h?k??x?n?k??
k??N?Ee2?n?求极值：??2?xs?m??2??xx?m?k??h?k??0 ?h?m?k?02?? 由此得到滤波器的最佳系数应该满足的线性方程组： ?xs?m?????m?k??h?k?xxk?0N0?m?N
采用该组系数可以最大限度消除噪声，恢复原始信号。 考虑到实际工程中信号与噪声互不相关，可以得到：
2 ?xs?m???xx?m???ww?m???xx?m???w??m?
线性方程组可以表达为：
?xx?m?????m????xx?m?k??h?k?2wk?0N0?m?N
例：信号序列x?n???1234?
1?4,11,20,30,20,11,4??3 4对应自相关序列为：?xx?m??2设白噪声w?n?的方差为：?ww?0???w?2
可以得到：
m?0 30h?0??20h?1??11h?2??4h?3??22 m?1 20h?0??30h?1??20h?2??11h?3??20 m?2 11h?0??20h?1??30h?2??20h?3??11 m?3 4h?0??11h?1??20h?2??30h?3??4
由上述线性方程组可以求解最佳滤波器系数。 以上设计需要预先估算白噪声方差值。 线性预测
根据以前的信号值预测当前信号值：
一阶预测： 当前信号y?n?的预测值为y?n???ay?n?1?
预测误差：e?n??y?n??ay?n?1?
2e2?n???y?n??ay?n?1??
?Ee2?m??2?yy?m?1??2a?yy?m??0 求极值：
?a
调节预测系数a使预测误差均方值为最小，可以得到以下方程： a???yy?1?/?yy?0? 采用P阶预测时，可以得到：
y?n??a1y?n?1??a2y?n?2??...?apy?n?p? 最佳预测系数需要满足的线性方程组为：
???yy?m???ak?yy?k?m??0k?1p1?m?p
对比维纳滤波与线性预测的方程，可以发现前者都表现为无递归的FIR滤波器的形式，而后者表现为递归的IIR滤波器形式；前者输出只与输入有关，后者输出与输入无关。