经过无失真采样获得的数据包含了原始信号的全部信息，可以通过一个频率选择系统从周期性频谱中去掉镜像（虚假）频谱，留下真实频谱。这一系统被称为抗镜像滤波系统。考虑到该系统在信号时域表达中作用，该系统也被称为理想插值系统。根据下图可以看出，该系统的截止频谱?c应该满足下列关系：?m??c??s??m
只要采样频率高于信号最高频率2倍以上，就可以确保无失真采样。然而，随着采样频率的增加，采样数据量随之增加，采样效率下降，这对于数据的采集和处理是不利的。从频谱角度看，若真实频谱与镜像频谱间留下大段未使用频段，则体现了则表现为频段使用效率不高。从保障采样效率的角度出发，应该尽量提高频段使用率。
上述分析的信号将最高频率以下的频段完全占据，这种信号通常称为低通信号。对于这种信号，当采样频率接近信号最高频率2倍时，其频段使用率达到极致。但在实际应用中，很多信号并未将最高频率以下频段完全占据，而只是占据高频区域的部分频段，这种信号通常称为高频带通信号。对于高频带通信号，即使将采样频率降低到信号最高频率的2倍，频段使用率仍然可能很低，有必要进行改进。
从频段占用的角度分析，可以将信号所占用的正频率频段宽度定义为信号带宽：
????max??min
考虑到实信号的频谱对称性，信号实际占用的频段宽度为带宽的2倍。由于采样后信号频谱以采样频率为周期，只要该周期大于信号带宽的2倍，频谱中就有可能将真实频谱和周期化的镜像频谱安放下去而不产生混叠。
为了分析无失真采样时，采样频率与信号频段之间的最佳关系，可以将信号正频谱形成的周期序列与负频谱形成的周期序列形成对比，得出最低采样频率需要满足的条件：
?s?2????2???max??mi?n
?n?1???s?2??max n??s?2??min 采用上述条件，对于低通信号，采样频率需要满足的条件仍然是高于最高频率的2倍：低通信号的带宽与最高频率是一致的；但对于高频带通信号，采样频率可以远低于信号频率，使得采样效率大大提高。同时，这种采样方式还可以起到信号调制的作用：将高频带通信号搬移到低频区域，方便于对信号的后续处理。
为了在满足上述条件的基础上，得到最低的无混叠采样频率，可以先以第1条估算出采样频率下限和平移基本周期，然后再逐步减少平移周期，直到满足上述条件。
例：若某信号最高频率为210，带宽为40，若频率精度为1，求最低无混叠采样频率。
根据以上分析，针对带限信号进行采样，混叠失真是可以避免的。
但是在实际采样工作中，还有其他因素可能导致信号出现失真误差。以下进行简单分析：
在实际环境中，通常难以确定所关心的信号频段外是否还有其他频段信号。为了保障无失真采样的条件，需要对待采样信号进行预处理，使该信号通过一个频率选择滤波器（低通或带通滤波器），消除通带截止频率以外的信号，该滤波器也称为抗混叠滤波器。
对于理想的抗混叠滤波器，不会为信号带来任何干扰。但对于实际滤波器，由于阻带信号不可能完全消除，混叠失真不可避免。此时信号的误差取决于抗混叠滤波器通带波动和阻带衰减的共同影响。
典型的采样测量系统由采样开关和保持电容构成；在电容的跟随和保持过程中，也会存在误差；为了尽可能降低误差，需要采用隔离电路，尽可能减小跟随电阻，增大保持电阻，以实现最小的跟随时间常数和最大的保持时间常数；
采用电容对信号进行零阶保持，本质上具有低通滤波的效果，对信号的高频分量具有较大的衰减作用，该项误差不可忽略，但可以在采样量化之后对信号频谱进行相应补偿，或通过设计一个适当的数字滤波系统进行补偿。通过补偿，该项误差可以基本消除。
思考题：
在采样过程中，哪些因素会对信号的精度产生影响？影响的累积效果可能达到多大的程度？可以采用哪些措施来减弱这些影响？付出的成本会有多大？应该如何平衡成本与精度间的矛盾，寻求最佳采样设计方案？
2.2 数据量化
所谓数据量化是将采样测量值与有限精度的二进制数建立对应关系。
数据量化首先需要解决的问题是：物理测量值（模拟电压）的变化范围与模拟电源及表达单位有关；而采用N位二进制数进行表达时，其表达只能局限于全1（最大值）到全0（最小值）之间表达；
因此，进行数据量化需要先对模拟表达范围进行归一化处理：A?D?VS
根据上述关系，对于单边模拟信号，将其变化范围归一化到?0,1?区间，对于双边信号，将其变化范围归一化到?-1,1?区间。
采用上述方式处理后，量化后的数字信号D表达为纯小数，其表达位数直接与精度相关。同时也消去了模拟量单位的表达，得到完全抽象的无单位数据。
数据量化需要解决的第2个问题是：N位二进制数只能表达有限个状态，而在任何范围内连续变化的模拟量都可能具有无限个状态，2者之间不可能建立一一对应关系。
例如，采用1位二进制数表达范围?0,1?中的测量值大小时，只有2个状态可以使用；为了解决这一问题，量化中根据状态数量对测量范围进行分区，采用不同编码表达不同分区中的测量值，每个分区中的不同测量值采用同一编码表达。
根据关系式 A?D?VS，对于一个确定的量化值D，只能得到一个确定的A（通常采用量化区域的下边沿值表达）；采用它来代表一个变化范围中的测量值，就可能存在误差。量化误差可以采用最大误差或平均误差表达。对于N位量化，最大误差可以达到2误差则为2-N-1-N，而平均
，显然随着位数的增加，量化误差可以迅速减小。
例：实际测量值对应的量化值以及误差确定
若单边模拟电压变化范围为220v，某测量值为175v，确定该测量值对应的8位量化值以及量化误差（v）
当量化值为所在区域的下边沿值时，误差均表现为负值，误差比较大。
为了减少误差，可以在量化时先多取1位量化，然后采用舍入截断方式减少1位，由此可以使最大误差减小一半，而平均误差为0 。这种方式可以有效提高量化精度，但会付出成本的代价。
数据采集系统由模拟系统和数字系统结合构成，单纯的量化误差可以通过增加量化位数降低到可以忽略的地步，而导致误差的主要因素是系统中模拟器件的影响，特别是抗混叠滤
波和采样保持过程中导致的误差。进行数据量化时，应该根据能够达到的精度选择量化位数，避免过多位数的量化导致的数据冗余。
3 数字信号的仿真表达：
随着计算机技术的普及，数字信号的直观表达可以采用计算机方便地实现，这就是信号的仿真表达。
仿真表达中使用的典型工具是MATLAB。
信号仿真表达时，可以将信号值和变量采用2个等长度向量表达，然后通过绘图语句表现。
信号向量可以自己建立函数与变量的关系设置，也可以直接从数字音频文件中截取。 常用作图语句：离散与连续、坐标区间设定； 重要信号表达：阶跃信号、时间窗口 数字音频文件的调用和截取。
第2章作业：
1 如果某信号的最高频率为101.711MHz ，信号带宽为0.022MHz，若要求保障在真实频段区段内不出现混叠，最低采样频率应该设置为多少？（设采样频率精度可以达到Hz）
2 分析保持电路对信号频谱的影响，对于低通信号，在采用最低采样频率时，最大误差可能达到多少？对于高频带通信号，可能会发生什么问题，应该采用什么方式来避免该问题的发生？
3 对于任意给定的一段时间信号，进行16点等时间间距采样并做5位量化，以同样精度的十进制方式表达得到的数字序列x?n?。
第三章 频谱分析系统
1 频谱分析概述
信号是信息的载体，数字信号处理实质上是对信号中的信息进行处理。了解信号与信息的关系是数字信号处理的前提。
信息由信号的变化表达，恒定不变的物理量中不含信息。不同变化形式的信号表达了不同的信息。
为了能够方便地理解和处理信号中的信息，希望寻找一组信息的基本单元，这种基本单元应该具有独立性（每一个单元表达了一种不同的信号变化模式，这种变化模式不能用其他基本单元的组合来替代），同时整个单元组又具有完备性（任何不在单元组内的其他信号都可以利用单元组内信号的某种组合进行表达）。
从连续函数的角度出发，对于这样的单元组可以有很多的选择，而在目前信号领域中最典型的选择是付氏分析的方式。
付氏分析采用虚指数信号表达信息基本单元： x?t??ej?t T?2??
由于每个虚指数信号都一定是周期信号，不同频率对应于不同周期，也就对应不同变化模式。付氏分析的数学理论可以证明，这种信号可以构成具有独立性完备性的单元组。
由于频率的重要性，虚指数信号也称为单频率信号。每个单频率信号具有一个特定频率，同时表达一条独立基本信息，由此可以将信息的基本单元与频率建立起关系。
当信号中包含强弱不同的若干条信息时，信号可以表达为： x?t??a1ej?1t?a2ej?2t?a3ej?3t
该表达式中，系数ak表达了信号中频率为?k的信息的相对强度，称为对应于?k的频率分量。将信号中所有ak相对频率坐标表达出来，代表了频率分量的分布，称为信号频谱，也可以看做是信号中的信息分布。频谱分析的目标就是希望得到信号的频谱。
根据付氏变化理论，连续时间信号的频谱表达（ CTFT）为：
?j?tX?????x?t??edt
??? 由该表达式可以建立起信号波形与频谱间的一一对应关系： x?t?????X???
CTFT根据该表达式，可以推导出付氏变换的许多重要运算性质： 时移定理：x?t?t0?????eCTFTCTFT?jt0??X??? 相位与系统延迟的关系
卷积定理：x?t??h?t?????X????H??? 信息提取系统的运算概念 共轭定理：x*?t?????X*???? 实信号频谱的对称性
CTFT
习题：利用CTFT的定义，证明上述三个定理。