3 零极点分布构成的其他典型系统
梳状滤波器：设置多对零极点形成多点阻塞 阻塞滤波器的扩展
对应零级图 频率特性图
zN?1H?z??N 等间隔阻塞，结构简单；
z?A
正弦信号发生器： 将单对极点放置于单位圆上，形成临界稳定系统
对应零级图 频率特性图 H?z??sin?0z 2z?2co?s0z?1能够提供稳定的正弦输出。
全通滤波器、相位均衡器： 零点设置为极点的倒数
系统函数中，分子序列与分母序列表现为相反序列； 幅频特性恒定为1，系数变化不影响幅频特性；
可以实现幅频特性与相频特性的分离设计，降低系统设计难度。 所有零点均在单位圆外：最大相位系统
最小相位系统： 所有零点都设置在单位圆内
因果稳定的可逆系统；具有最小的群延迟；
任何因果稳定系统都可由最小相位系统和全通系统级联构成： 以最小相位系统实现幅频特性，以全通系统实现相频特性。
第六章作业
1 设计一个一阶低通滤波器，要求系统最大增益为1，最小增益为0，3dB截止频率为
?c??4；确定该系统的零极点和系统系数。
2 设从0到1MHz范围内存在4个频道信号，中心频率分别为：0.2MHz、0.4MHz、0.6MHz、0.8MHz；频道信号带宽均为5kHz。请设计4个2阶IIR带通滤波器，分别输出不同频道信号。设计要求：每个频道通带内的最大增益为1，最大误差幅度等于相邻频道信号的最大残留幅度（串扰）。
设计出各滤波器系数，画出各滤波器幅频特性图形，清楚表达出通带最大误差幅度和邻带最大残留幅度。
已知一个第3类FIR系统存在2个零点为：z1?0.8 z2?ej?2
判断该系统的最低阶数，并写出该系统所有的零点。
第七章 FIR系统设计
1 频率选择系统
信息处理系统的作用表现为系统频率响应与输入频谱相乘产生输出，这种相乘导致的一个重要效果为：输出频率分量全部来自输入，而输入频率分量不一定能够输出；这也就意味着可以利用这种系统对频率分量（信息）进行筛选。进行频率分量选择的系统称为频率选择系统。
在很多实际应用中，信号处理系统需要对特定频段的信息进行选择：保留某些频段信息，去掉某些频段信息。采用频率选择系统可以实现这种操作。
理想系统：通带增益为1，让信号无失真通过；阻带增益为0，不让信号通过； 根据通带与阻带位置分类：低通、高通、带通、带阻 截止频率、带宽 由理想低通系统可构成其他系统；系统设计集中于低通设计。
理想低通系统实现的问题：无限冲激、非因果、不稳定、不能进行Z变换。。。
实际系统设计参数：
通带纹波误差、阻带纹波误差、通带截止频率、阻带截止频率 通带最大插入损耗、阻带最小衰减 相对过渡带宽度、3dB截止频率
2 FIR系统特点与线性相位系统
极点均位于单位圆中心，对幅频特性无影响，系统稳定，但设计效率较低； 系数均为冲激响应，可设置对称性：
独立系数减半，成本降低；
滤波器系数对相频特性无影响，可专注于幅频特性设计； 具有线性相位，无色散失真； 线性相位滤波器的分类：
1 偶阶偶对称
2 偶阶奇对称 带通
3 奇阶偶对称 低通与带通 4 奇阶奇对称 高通与带通
3 时域窗口法设计
基本思想：用有限时间窗口截取目标滤波器的冲激响应，得到有限冲激响应系数；
理想滤波器与有限冲激响应系统的频率响应区分；
典型分析：理想低通滤波器
冲激响应表达：截断的合理性
误差分析：LS优化，可通过窗口设置满足任意小平方误差的要求
滤波器阶数变化对频率响应的影响：通带阻带最大误差与窗口变化无关？
误差分析：窗口频谱的卷积效应
主瓣宽度决定过渡带宽度，旁瓣主瓣面积比决定带内最大误差
利用对矩形窗口频谱的运算降低旁瓣面积比：
频谱自乘：时域卷积 主旁瓣宽度比不变，旁瓣相对高度降低
三角窗口、巴特利特窗口
频谱调制抵消：主旁瓣宽度比加倍，旁瓣相对高度降低
汉宁窗口、汉明窗口、布莱克曼窗口
固定窗口特点：结构决定误差、阻带与通带误差对称；滤波器阶数决定过渡带宽；
寻找其他的数学函数以取得旁瓣的降低： 摆脱对矩形窗口频谱的运用 凯泽窗口：
选取扁长球体函数的双曲线正弦函数近似：
2I0?b1??n/M?????? w?n??I0?b?n?M
?其中，第一类修正零阶贝赛尔函数：I0?x??1??4?k!?k?1kx2k2
特点：可以使用参数b同时控制主瓣宽度和主旁瓣比值，阻带与通带误差对称；
M?1?1?i????2ni???等纹波窗口：w?n???2Cxcos???cos?????M?0N?1?rN?1N?1?????i?1??n?M
特点：可以使用参数r控制主瓣宽度和主旁瓣比值，形成等纹波旁瓣
利用截止频率与旁瓣宽度的配合，可以得到很小的误差波动。
窗口法的频域设计：
单纯窗口法局限于时域窗口函数的修改，导致总平方误差增加；
过渡带存在不可避免，在频域对过渡带设计可以加速冲激响应的衰减，从而减小误差； 可以通过窗口宽度控制误差
4 频域采样逼近设计
频率采样设计思想：
N点频率采样可以对应N点冲激响应系数：
自然实现有限冲激响应，可以实现在频率采样点没有误差；可以利用DFT实现； 以足够密集采样点可以足够精确实现所需要的频率特性； 问题：
采样点增加导致滤波器阶数增加，成本增加，性能下降； 采样点之间的误差难以控制。
LS优化滤波器设计：误差控制
以N阶滤波器实现对任意多采样点的平方误差最小化：采样点离散或连续 误差函数：表现为滤波器系数的连续函数，最小化条件是微分为0
由此建立线性方程组，可以求解优化滤波器系数。
最小极差优化滤波器：将采样点控制在误差极值点处 效果：构成等纹波滤波器 理论与迭代步骤
滤波器设计需要考虑的问题：
设计指标与滤波器阶数的关系：通过理论建立、通过实验数据分析拟合
第七章作业
1 已知一个第2类FIR系统存在2个零点为：z1?0.8 z2?ej?2
构成一个满足该条件的最低阶系统，写出该系统所有的零点,画出对应的零极图，并写出该系统的冲激响应序列。
2 分析采用矩形窗口设计的低通滤波器，设标准通带增益为1，估计出其带内最大纹波幅度值。
3 分别分析hannin窗口和hammin窗口对第2旁瓣和第5旁瓣的衰减效果。
4 利用固定窗口法设计一个FIR低通滤波器，若要求阻带最小衰减为48dB,通带截止频率为1.2，阻带截止频率为1.5，应该采用什么窗口函数进行设计，滤波器阶数应该为多少阶？
5 利用频率采样逼近方法设计一个40阶滤波器，对经过采样保持得到的信号进行频率补偿。对该滤波器的通带内误差进行分析。
第八章 IIR系统设计
IIR系统特点：
冲激响应无限，不能用冲激响应系数表达；
采用系统函数分子分母系数表达，利用递归差分方程实现；
不能实现线性相位，通常只针对幅频特性进行设计，可以利用全通系统进行相位补偿；
极点可以在单位圆内设置，设计效率提高。
模拟变换设计：
将设计要求体现为模拟系统的指标； 实现模拟系统的设计（利用原型系统）； 将模拟系统变换为数字系统。
模拟系统的设计方法概述：
采用有限分式的幅频特性平方函数拟合设计指标； 将该函数转换为系统平方函数，得出所有零级点； 选取左半平面的极点、零点构成因果稳定系统。
原型滤波器： 模拟低通滤波器，截止频率为1
Butterworth ：极点等分于单位圆上，频率特性单调（最平坦）； 一般低通滤波器设计；滤波器阶数和3dB截止频率的确定。
Chebyshev 1 ：极点分布于单位圆内椭圆上，通带等纹波，阻带单调
Chebyshev 2 ：为1型的转换，极点分布为1型的倒数，零点分布于虚轴上 阻带等纹波，通带单调
Elliptic ： 极点采用1型分布，零点采用2型分布 通带与阻带均为等纹波。
冲激响应不变法：
指标转换：去掉数字频谱的镜像，得到模拟频谱； 系统转换：通过对冲激响应的采样，恢复镜像频谱。 问题：冲激响应无限，不能表达；
解决方案：按有限极点分解模拟系统，利用极点与分解系数对应得到数字系统。 优点：运算简便；
确点：受采样定理限制，只能运用于阻带单调的低通、带通系统。
双线性变换法：
指标转换：利用正切函数将数字频谱的有限区域转变为模拟频谱的无限区域； 系统转换：利用频率与s和z的关系，使用反变换将模拟系统转换为数字系统。 变换关系的转换：
??sin?d/2??ej?d/2?e?j?d/2ej?d?1 ??k?tg??d/2??k? ??jkj?d/2??jkj?dj?d/2??d/2??co?se?ee?1
ej?d?1z?1j??kj?d?s?k
z?1e?1
优点：采用统一的变换关系进行，不受滤波器类型的限制； 缺点：高频区域非线性强烈。